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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 '}QN@  
g9eVUm,  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. (sV^KduH  
!$0k.=X.  
　　1、三角函数本质： l{,e P]+  
wg{//kNL  
　　三角函数的本质来源于定义 JHTQa2pLx  
j]EY":  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 S:K\hG#"  
2O);VK:d  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导  8L0M<I/  
vHJ_Bt  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： LjS8I-VNF  
RQbdy8  
　　推导： /mx)*4o  
F%D{bjM%  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 O l \   
tI@X;B8$Z  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) \&>jeV{_  
[>Mm|)N;G  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) '5u_#Q2  
Z((T@_^  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 /-qkBb0$  
0;va]bJze  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） LJp[Ph91m  
6lFgN(z  
　　[1] vXq*oI~2  
(^.M!2N  
　　两角和公式 !{P@Q/4A  
:yCT+\d0  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB ?$[=xl4  
^`0BW jj  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  wpy/xy{Y  
3u[{ J9Cl  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB $jw7$n  
63Pz*g  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB R1e u8R`  
),>V(D@  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) n7'td6  
x@F7aJGw  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) }X\U_k  
//hQ5X&\|  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  w'%jZDqaKN  
g9FVgE.4h  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) $2cfnB[,I  
Qo jo   
倍角公式 )}(C5;`  
nnG0oQ  
　　Sin2A=2SinA•CosA BLd9d;A1  
fvsS#r#K  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 V qUZ/  
ndK\wwNY  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） ^h ^v|e#Z  
t0WA)Si2  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） Bh43LiQ  
u?S]z.9s  
三倍角公式 Hq c0R8]  
Ok.H%]3{8  
　　 lp,_` *3  
L2&Q>)  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) V X6{+V;  
<gK G0`  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) dc\^:fG   
WVPI.e@ G  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) fS=1]3U  
X~':=@\{  
三倍角公式推导 %>PzvD0~!  
#g329LcaW  
　　sin3a <nh2JM7  
5aU;_`nv]S  
　　=sin(2a+a) :g PteU*.:  
`,<X7?6  
　　=sin2acosa+cos2asina 4XBK{E Y?V  
r}l5uPb  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 2 Bqhca#l  
k8M~K]}a  
　　=3sina-4sin³a ^/.j}E1  
<#v.i6%  
　　cos3a O-ZXC _s  
=8r}U;Jw  
　　=cos(2a+a) y(BIdko|  
H`OES4 Q  
　　=cos2acosa-sin2asina @pMY jbSi  
C'G'7pr  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa z_-~ ^6Y?  
DRl&Qjw(  
　　=4cos³a-3cosa is,~dLPS  
PuV-Uk"=  
　　sin3a=3sina-4sin³a ai3;h  
d|no1"=3"V  
　　=4sina(3/4-sin²a) }18E^`+  
|C0yZPE|vo  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] g{;D|ZE!7-  
86 0}=3(  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ^?1~  
R95;'4!1  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) [+v#9[  
8YW/wdT  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] -)!ObD&7  
{B\uS|wph  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) W{QZ%;fQ  
I !{3  
　　cos3a=4cos³a-3cosa )QFL;vGM  
u[" v=(  
　　=4cosa(cos²a-3/4) estWuPV  
!.}LBS~  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] /|f]x'm`z  
(u1 YO  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 2Od:"c0L  
&2i:LG  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) __/E(tx#  
"9e9^l@:  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} "%k1Oz2k  
@92eHA(  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ?ox::DTlY  
hy9M/C^AM  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] AIoM"zv[  
w?@gEum$  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] DDAj},  
tQ.]FBsp  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) Lb_$7Z1o  
0L?YI~  
　　上述两式相比可得 n}.|)/v  
PCw~?# ba  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) Ys7 Gkl  
o=/%A'xj  
半角公式 6  bG  U  
%p7OB\5=4  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); o'OQ'uDqP  
4E5<d8F\  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. /&f8s-\3+  
5FT,E<@  
和差化积 &/0C 8X@  
Bd,Ih}  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ;JV=`=w-  
+Rs*w3y&  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] \RDX4dq  
r7g^qCr&^  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 2*(\8d ];  
XXg< jCk  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ShUsdH)Bc  
n.s[i8mwMo  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) -" "J  
gLC~4rG  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) IP6ostG)4  
G5 ^A  
积化和差 /DCp(Rv  
<bM }R_} r  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] D++t[#Gl_  
|iagmeRjU  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] R[4 zhQD  
<]e~}? :w  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] ]~s#l3@  
eYLrbg  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] S=;8)@Mj  
W`yX*p#]  
诱导公式 ^mZ"mR?  
pf]+ a{z  
　　sin(-α) = -sinα mIj}6!5  
m@7jLS!O  
　　cos(-α) = cosα ~p4 lF!^  
;y(9J| S  
　　sin(π/2-α) = cosα uF.;u?T=T5  
6Lm&$sH  
　　cos(π/2-α) = sinα E>:Vz@P.  
Et (5+&  
　　sin(π/2+α) = cosα EV&+`OMD3  
<4V1T>$0  
　　cos(π/2+α) = -sinα #o.y>rd  
P `r?O  
　　sin(π-α) = sinα -g-Fn<m  
B9U)="U&  
　　cos(π-α) = -cosα ATqlp`q  
MwO+#*TBD  
　　sin(π+α) = -sinα kE m/prE  
ngK,Q=EZ  
　　cos(π+α) = -cosα yla }P  
?lhB+bT  
　　tanA= sinA/cosA B2(W-M  
>T?5?'S  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 62C2#MG  
/Ro]M p}i  
　　tan（π/2－α）＝cotα ah&xpF  
9sXGhoC{P  
　　tan（π－α）＝－tanα p^8lLTu  
c\4)9  
　　tan（π＋α）＝tanα wm?kIkkO  
F<4I<B0]  
万能公式 (fUSRf^Nas  
1'3!-l  
　　 =l8hw-MuB  
)Clu?  
其它公式 O5^wou*  
-oFW "sR  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 z?_$,Cp  
~Z'M[y/  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 =]/E1e  
zW!+I9  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 /XFy@j~  
>AjZBb~)  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 e&qSck/  
tO8}Vn6x}  
　　对于任意非直角三角形,总有 s,e?f^W  
&/ L)2Ey  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC K0"3X`_  
0=0S7  
　　证:  ,iO  
"AA  
　　A+B=π-C bEBt,1P'p  
*T8m-AtH*F  
　　tan(A+B)=tan(π-C) p| i+fLd  
[1CG DeA  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) %m? 2Uz  
RcJ*.Rk3B  
　　整理可得 CpRnOJ\  
@Da9=mJd4?  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ] ;3Xfg|  
> w;'\  
　　得证 ViOi ky  
HL@lJFsN3  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 B _>V~68  
-3m{ 1  
其他非重点三角函数 tL({q8\j  
C9> hg]t"  
　　csc(a) = 1/sin(a) np X~y$  
@.U#h0  
　　sec(a) = 1/cos(a) l f=APA(m  
>yGZqNbW"  
　　 dIN5 +~  
p(m3Y8"{  
双曲函数 b)nj :Y  
%]_ l ,  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ' ~{Gvc0  
O3+d9A(  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 9sQTrTkt  
J8(+R $  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) _Gp7k!,do  
JIe+@yGA  
　　公式一： q`&P~A  
8jT!Ik6l'  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： kM Khn{Fu  
Np9xLspa  
　　sin（2kπ＋α）= sinα fh&Md[~r<  
Y4/0J  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 7C,u>4D  
MC6 &Uoj  
　　tan（kπ＋α）= tanα :0$bCk7p  
x(E_"eZ  
　　cot（kπ＋α）= cotα {u8}EGz,  
Z;y[9  
　　公式二： aj2}L$Z&r,  
8B"5jiC@  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： qB!y]8_  
\ko!~Eg  
　　sin（π＋α）= -sinα KfO*]Si  
4O,V3J  
　　cos（π＋α）= -cosα IjirZL{9  
-H)/7F  
　　tan（π＋α）= tanα qh:Kn2f  
Ft$tB '  
　　cot（π＋α）= cotα d+?,1W[lc  
mEeV9A>  
　　公式三： Blh<Lc6+  
n_qnN$  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： Aeq DgN~v  
wGMx vMA  
　　sin（-α）= -sinα cjD*t| $  
H3;C,`  
　　cos（-α）= cosα n \U_p(#tw  
|an op[  
　　tan（-α）= -tanα 5$q!$.j[  
^8Yun/l  
　　cot（-α）= -cotα  Uk!Xm~  
FVweU.3e  
　　公式四： `_TA=b  
vir1(NOB:  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： XjeSog{u  
e5Z<T  
　　sin（π-α）= sinα 6{?c;Zo%  
2i%V#Hr;}  
　　cos（π-α）= -cosα (_'J"{y&  
F[l]zU9G  
　　tan（π-α）= -tanα i_.&OaH=vq  
DcFml ~eEb  
　　cot（π-α）= -cotα Xwjo#']  
F/]ylyl_  
　　公式五： QL"1x5^@  
==( xpu  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： LO~D.|x  
0N0m >=  
　　sin（2π-α）= -sinα :shUt!  
o66!WN>)f  
　　cos（2π-α）= cosα }M*}&b  
n@)yx"s  
　　tan（2π-α）= -tanα \9-;%x  
pA|4^e-  
　　cot（2π-α）= -cotα  Srt[W{3*  
C 90&S)D:m  
　　公式六： !IiM"a  
o} `-4 S  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： WI$O.ztN  
Z;(]R  
　　sin（π/2+α）= cosα 88c(p e  
vS a|3:  
　　cos（π/2+α）= -sinα }b&EaqQtg  
OW8`q  
　　tan（π/2+α）= -cotα F]S" GLm  
+Uf^LF hQ  
　　cot（π/2+α）= -tanα 1$K1bz= F  
P&tcN7NtJ  
　　sin（π/2-α）= cosα ^@Ru\Tb]4(  
eL2N;Yn  
　　cos（π/2-α）= sinα LZ4K gUQtI  
v*-(,JD  
　　tan（π/2-α）= cotα ,b` t#,  
0V"hCJ<~  
　　cot（π/2-α）= tanα <3!S/RN  
yWb6?WM  
　　sin（3π/2+α）= -cosα ZiiY ~$4  
~b B 1k  
　　cos（3π/2+α）= sinα =hk@+.  
*z."_Pi  
　　tan（3π/2+α）= -cotα C 56VT  
,yt- bn  
　　cot（3π/2+α）= -tanα a.$2+&`  
_B#}4%  
　　sin（3π/2-α）= -cosα EC4K"  
Czg*pZ%d  
　　cos（3π/2-α）= -sinα  >q"k~  
\V>Ha 1  
　　tan（3π/2-α）= cotα YZ rIZ<TB_  
Jnj#~/\`W  
　　cot（3π/2-α）= tanα PA ~<_Zw1  
\MpnM K  
　　(以上k∈Z) ,R[Fj"'GT  
3bfM7no  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 $lJn2VM  
: ~]'T@  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = x]iHju{7  
c#bu)6cL  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } #QVeH~dF  
x[J1p  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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