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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 Di%UL+",:  
Y4'MTS[  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. /K P<(   
omi<V'E$/  
　　1、三角函数本质： JK<#t .  
7T-t$f:gv  
　　三角函数的本质来源于定义 |+?}9XVA  
EV`]R%_eX  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 ` AYe  
;rY(:@Q>,{  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 +=Ko/xr7m  
BRO\&fVK  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： xkXxW03(R  
v%^aSb7  
　　推导： Fn@g2#q  
zoxwF]  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 ks?"(o)?I  
l+5%4NFLn  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ;g Yw=  
=cZ/"*9x  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 4hq:Ua"9}  
Sks}]{=P  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 =\;\vp_#9  
?Y` gLs  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） >GDP_  
#RG/v*[w ?  
　　[1] WXT!Z}r  
8U250 <V  
　　两角和公式 i*)[&tT}  
*{ > lLR(  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB gS w)Q~[X  
<f .Bp3"  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  graz>Kd  
%z'>HB<B  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB Y0QFA W  
c &_4]  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB CA+rmcl%  
Z=D#R'  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) x@#WQxJh}  
1*q<G`  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) >>p+@s:7o  
z%4q99Z  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  p<b4z&a;y  
y*$"q eNd  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) J7J  +9*  
D>|-'UC5b  
倍角公式 E AzNxv  
8_v"-odx  
　　Sin2A=2SinA•CosA wG ay2hIz  
x~y. ?a>D  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 igWdBm(v  
L1IM`)l"  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） :}XA~zNa  
ty_2}  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 8%Q}st9*  
5"8v6z7  
三倍角公式 .?qH1*Zl  
QvRw;-G"13  
　　 2 @l&?  
E4[5{  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) )xEd>5|0  
A _jf  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) _/%?& 0u  
!~<pJ8.^s'  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) F;o3<mm  
P_#<  
三倍角公式推导 HO/xlw)w  
_ }uBcB  
　　sin3a D 1\X"  
0G9q1LuJ/  
　　=sin(2a+a) `SF0(~T  
\cfOx;  
　　=sin2acosa+cos2asina /):c?{ p  
6>a19e&  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ;mt=i`,]z@  
|,BC"VA]  
　　=3sina-4sin³a `eDhB*0  
B2A&ku  
　　cos3a CIl`_  
oF(T'dqt  
　　=cos(2a+a) 'LX>*v-L  
A\mSb\A  
　　=cos2acosa-sin2asina \j6E,C  
\4E\}KCT  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 2ob5 N5-S  
crg%W. C3  
　　=4cos³a-3cosa o Cuu  
wPrOm~\  
　　sin3a=3sina-4sin³a |G %z94O  
gEVN/t7  
　　=4sina(3/4-sin²a) +1RxqP]%  
DIB{-N  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] i~fZ>f*_  
x 7sz][j@  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) bXLv\$zkP  
0?fw84f2  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) BE).S S  
u315-;+!;  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] aW'y:&9&  
[!Z7-y5  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) r^h) :%Gd  
eQO;b)x  
　　cos3a=4cos³a-3cosa . Qg)<983-  
d`G`>+d  
　　=4cosa(cos²a-3/4) QI) k  
VS4_Vln  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 5'AIGBs~Cv  
~ '"'`B ;  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) A/O>~,  
0'1 ZE=W  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 7\0/|]7Q  
, uT ?O&  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 69AL%murcn  
.~5J>'n,Q  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) Hg[rEn  
[ ADg?#>  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] VPrF^l  
!`sByl 97  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] @@QRw U  
%r0' 5z  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) Z.?B Nqz,  
=tH~\`b2  
　　上述两式相比可得 yW/ FRr  
!e(e.oF  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) K(!6l$JD{  
p`WRzKOQ  
半角公式 7[Ydz33  
;Ds3-P;X  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); b"Ilgx  
Mou:?xY%  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. }s1fwQsAU  
n4j?<\%TPN  
和差化积 XUBgXrgq  
.W?u\.Vu,  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] kC2vAR`  
v$y|1<  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] xt([<'W  
-yS`~<9  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] =b2}=so  
9Rr<Lc5  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ?;S i  
m^ xj'A`Y  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) c G&<)ST  
XM%RiO<  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) !B+d0  
{V{K61,k  
积化和差 N~/sz)>_o  
vw_f3vRq  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 4;2wY\:xt  
A#Dwf_#  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] [7iufh  
 192'   
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] _LF7 G7#U  
3[/9]D  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] x_Q 1ge!/  
u1JIp  
诱导公式 ^G?0lb%04  
u]o kM  
　　sin(-α) = -sinα Wic_/CFB2  
>zDa%'j?  
　　cos(-α) = cosα wU>qM[Vb)F  
4 RPjj18|  
　　sin(π/2-α) = cosα NX}~<,K  
u83! ]5DX  
　　cos(π/2-α) = sinα ;"`1/:o  
|NW|L@u_=  
　　sin(π/2+α) = cosα 5/XG#Xh)9  
h$ ?mY/Z  
　　cos(π/2+α) = -sinα rK4~qC_  
*HKP+rs*Kx  
　　sin(π-α) = sinα bnqj@8;*  
|?LmE)}  
　　cos(π-α) = -cosα L22> 7K$  
~_0b;Gu5o  
　　sin(π+α) = -sinα kK4kBo  
34TE k  
　　cos(π+α) = -cosα ~ThjVhx<  
c+|6H$/;S  
　　tanA= sinA/cosA zNjHq-  
bL;-xpup\S  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα yq)b9  
U@[Ml*=i  
　　tan（π/2－α）＝cotα eR]eHN  
t}3=f!O  
　　tan（π－α）＝－tanα 7h;ZO-VP  
J'!AU  
　　tan（π＋α）＝tanα Y;T~*'3\  
55Zj+/?  
万能公式 ,VIC$1#  
+yPyq 8a  
　　 pe5qK+5  
{B~XFo)Lf  
其它公式 Gl<=<,y  
0|NE&|T  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 g%\NM7Hy  
= R=hH|dG  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 pT*C;,K@  
_?R 8X=  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 0SeLVB^  
EORL@{M{%  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 B( IW,<Yh  
[*7oV6O5  
　　对于任意非直角三角形,总有 'JxC  
;Z26yQ>H  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC &~E`mE~  
RQ[e0$Wv  
　　证: K9U+ KTyM  
soMr#WO  
　　A+B=π-C ;O Lx  
$U(7J6 6(  
　　tan(A+B)=tan(π-C) HH7m)lR-  
{wD+D[E  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) ~sce^n3X'  
g| I~28p3  
　　整理可得 f57ucXqcR  
h $s0C4a  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 7Po:G"az3n  
^c;$u r1  
　　得证 Gh0b9"K  
3x=0tso?^  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 X#/=1e$  
TQ?fcr ~K  
其他非重点三角函数 G`va`.xZ&  
jz||iPnk  
　　csc(a) = 1/sin(a) R>EZw:6rr  
. t}yPS  
　　sec(a) = 1/cos(a)  #e)!mt  
= ?36 T-  
　　 ykr*glwE  
Iy8"Sc|  
双曲函数 ^efBxtd  
7w{t&k.;  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 L(ol:\xx  
YCB'QL^R  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 IyD)>$ _7  
9;Awsv-9  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 3`mEL6<Z78  
O! k}E*R  
　　公式一： n %l<;.  
;lb#3WYl(  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： I1Bf$K  
`S{eD+#S  
　　sin（2kπ＋α）= sinα gp3 Y*U  
7F mZYD  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 8577  n8  
]*I swWJ~  
　　tan（kπ＋α）= tanα " - 'vu %  
xMXUw?K  
　　cot（kπ＋α）= cotα @;Y/YTh '  
@}}!k _{  
　　公式二： owQ6 l;fc  
_:S]}0;&  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： E[=8 [!2  
YS@s{Wv9  
　　sin（π＋α）= -sinα 9T"%k J!  
>h{U #6I[J  
　　cos（π＋α）= -cosα [0k[S3d?  
UwLxJ|f  
　　tan（π＋α）= tanα _Y(SSe  
wZM4 qf{&  
　　cot（π＋α）= cotα -">LHx  
\cf(]N  
　　公式三： i|ADhZD  
ny7-)kc  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： B*P?yay  
/;Ai +yt0  
　　sin（-α）= -sinα 1Dll\$9a  
;wR~H6AJ o  
　　cos（-α）= cosα T.zt|=k;  
ek&5.AIFd  
　　tan（-α）= -tanα 9+~lG}sG%  
1  M\}  
　　cot（-α）= -cotα 9=F8%<A  
! nZQ0%e  
　　公式四： 3|z@^D]  
/;D<)]  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： NgTm{'YG  
E,tW]as9i  
　　sin（π-α）= sinα 5TE(T$2E<$  
y%EzmL$   
　　cos（π-α）= -cosα y"6G6W)<-  
OL)k "~GG  
　　tan（π-α）= -tanα y%AQee#J  
PReW%"v#  
　　cot（π-α）= -cotα 90|kX> 0*1  
=Y$(K$[v.  
　　公式五： sz+Vr$m  
K58|T0X/  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： ){:Ib_+u  
: $N~2?Ej  
　　sin（2π-α）= -sinα Zz:/#u{CR  
Dh W`?N  
　　cos（2π-α）= cosα BoE2,JrBz  
k]{p@A  
　　tan（2π-α）= -tanα rXl[yJ '  
U?6(W@5kx4  
　　cot（2π-α）= -cotα F;HqU/L  
6.txgBQ*  
　　公式六： 7[6-s{  
N 3RlX=h  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： ?"xgHq:n  
W l@cvg?7p  
　　sin（π/2+α）= cosα Z7j^ cu  
7D>T\.!\  
　　cos（π/2+α）= -sinα tf0UA!  
&<l8Z  
　　tan（π/2+α）= -cotα AqN,Ok@b`  
tg!lUs}TsD  
　　cot（π/2+α）= -tanα &wN}Llz   
l/ B="hf  
　　sin（π/2-α）= cosα H+KpYgT  
U- ujHxv  
　　cos（π/2-α）= sinα & +HT JE  
{ sj/dy  
　　tan（π/2-α）= cotα )'IfMBic  
%[>y/A$:  
　　cot（π/2-α）= tanα 0T&gnqry  
?HXeobAW;  
　　sin（3π/2+α）= -cosα u* Y6w)q  
f4Hv3SY1DU  
　　cos（3π/2+α）= sinα j_pi$8J  
> 383Jt   
　　tan（3π/2+α）= -cotα (w57s3uB[  
JS/6DI%*  
　　cot（3π/2+α）= -tanα A@9J @um.0  
GD6 \\Y&  
　　sin（3π/2-α）= -cosα UF{Fa&B  
SzN8gH,oL  
　　cos（3π/2-α）= -sinα sg;._1%w  
"yZ-)`RT  
　　tan（3π/2-α）= cotα |D#v/+9  
mjvpnQe  
　　cot（3π/2-α）= tanα p#)89]{i  
.2@R1p8  
　　(以上k∈Z) ri|m |!,  
Cra$A'/.{  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 O 4 qGAV  
i!NiL  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = veg`@mC:W  
y:tA( &9R  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } (:#VR;3  
?1Yk8X&S  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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