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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 m'{bs%  
&{}r&G  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 8ZLD]OE  
U'-GtU>pg  
　　1、三角函数本质： `E&6QiI9  
UN(NO_ZP  
　　三角函数的本质来源于定义 z+F^NdG  
% }m:G$_R  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 qY#5nC~  
 t V1!,  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 f |L+1\(+?  
e64 pG  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： VRv5++[1  
]AS:f)&n)  
　　推导： |1!Sg  
r@ kYq  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 vo,hvy.x{  
pI>z gM  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) R*lDQ7_:SB  
f2:Jr$&,$'  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) AKXg.}A  
!1tI}9K  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 '.^\ ya9  
TQ+D68~5  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） ^: bUT4k  
7*Ogoj4  
　　[1] kVr?&[@O  
a3GQ^j!  
　　两角和公式 %*iEl\&#  
wC"y|<RW  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB YA8gp  
[O24jeane  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  &p:8.m  
rJlz2  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB +L5P{4>9  
n_T U!!c  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB %t0>Se,^  
=qhshI  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) upcKhKj}4  
aN- ;l{F~  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 0,ZUP  
6dT{!*xQ  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  'P|<'Yo>e  
Y1DFicX  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) e'I#%r=  
 L%&Z  
倍角公式 j. ~|m1  
f=iu _!  
　　Sin2A=2SinA•CosA _ s6orp  
uiV8e- PS  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 2@7z}5yWU9  
dSC/`fM731  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 6=V?5EM8  
iG@_q&a  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） "G( mi  
w4%z wr2  
三倍角公式 dEX6f8uC  
0QI{v lc  
　　 aO\3al%  
aQd voV  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) Xf\:).W[  
LA^jJ]  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) c&}p2Qh4X  
33bAy=  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) } |):~`P8  
FXndq/#Oj  
三倍角公式推导 }["zi?r\E  
2AQQd /<  
　　sin3a '!N<JJ  
g\%/_?ot2  
　　=sin(2a+a) -~M|G':-  
:SC m8Xd1  
　　=sin2acosa+cos2asina {MpP kMm  
&0DQ K,  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina t}D}Xa_G  
i..mZ\1m-  
　　=3sina-4sin³a 4xVZ5L*  
CEI49H/  
　　cos3a Fib&F#I|\v  
i,1 6H1  
　　=cos(2a+a) @v6k\^T'e  
/'9#'~  
　　=cos2acosa-sin2asina `yw/f_nK(  
%[>HV h  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa [OjeUf!p  
^:rHMC2  
　　=4cos³a-3cosa ]a=StFO<W  
t5/jX  
　　sin3a=3sina-4sin³a ]Fqg^\L6  
4:P+3P|  
　　=4sina(3/4-sin²a) LGL?!U   
{q2G[t8x  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] -y `ba0  
h=F_42dFE4  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) C[N5-SV0  
S-U&_q~h  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) .XF}Q^v  
(l]p+Yt  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] z7%<J  
e6aEV0-n  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) `E9>V}j  
~g'QGdw  
　　cos3a=4cos³a-3cosa aE+DKk&'?@  
m] ,Mrtr  
　　=4cosa(cos²a-3/4) h4k&<LL  
SR! H ^~v  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] -oWU7qo/  
r12{}dvk5  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) :?**(!D  
loSqvr  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ArT,$i;RN  
O0=ET`,  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} A0tA4qZ[  
,/*F`s562>  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) pjJw6^u  
ky. 3>Q&  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] d)<&W)  
'Hj~!  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] `]ES'O  
.kuVH~2V"  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) p^7G~P#z  
$BP=no  
　　上述两式相比可得 J% %1dk1  
k bB,O7U  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) K;0:}!  
Zo4&(c5  
半角公式 (;>LSZ?%z  
$I6jh ,_  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); OdZ q]  
YHf`7C4zh  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. K _ZsfxH  
M608FB .I!  
和差化积 O(Ah4Pk  
tE QG D  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] GPjc4Wg  
"nn(gE,  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] x.[j49Z   
rTq'qX Y  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 5"../QBvZ  
-g}t @v(j  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] @.nGF<w  
I{NrHPE  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) %Tu3eR  
$9{'L#  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) -wTWx5J  
eI/AOVm@)  
积化和差  N0G%'-jk  
*n Ws_p~  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] @TxRkc7  
LU_d64/  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] !f&J@;M  
m bR.Tg  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] fwo|gj<Mf  
6+\BAl{K  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] X\"L| e  
gMS+ *a~  
诱导公式 KA)hQljD  
e+#z!8ohH  
　　sin(-α) = -sinα o0YGI@%  
$Wv|]6bO  
　　cos(-α) = cosα g~siOj  
U1,; X@s  
　　sin(π/2-α) = cosα 2Ip<+-  
P9$jC?FA  
　　cos(π/2-α) = sinα +>*$lm{J  
RiE;w'7  
　　sin(π/2+α) = cosα ".<>3h  
i5J >VA;G  
　　cos(π/2+α) = -sinα q1'0A.  
$ K3i3  
　　sin(π-α) = sinα nPx*SPV  
8[yi@7GbX  
　　cos(π-α) = -cosα _QwW#\  
W;q%76js>  
　　sin(π+α) = -sinα %!)0& V&  
CpQ,6DQ?d  
　　cos(π+α) = -cosα /p_9RtiMF  
+\5*ywy/`  
　　tanA= sinA/cosA 2'| i  
`e,}T}~(L_  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα +m*0h1 K!k  
Q|cNJ>q  
　　tan（π/2－α）＝cotα XfQ- 2  
h9kWW   
　　tan（π－α）＝－tanα UDf7%9V}  
7f} *M  
　　tan（π＋α）＝tanα 6lWx~rl  
bU_Q/pOt  
万能公式 mD[{NR0  
`0E3Wn>  
　　 IhmJyb*  
bq(D9Zrj  
其它公式 r7AUz\W,P  
K@ ~ N<*  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 IHqufMx%W  
7 gUjwr_.Z  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 MhfuV{c?  
!o SEL3(  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 gcI %lg  
s6?] Oh  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可  D|m DH  
sS<A"XF d  
　　对于任意非直角三角形,总有 ?egNAI4s#  
,u~67=f50  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC r<.a$;W;C  
}tk8 H  
　　证: ;O KR: K  
L|%7VR  
　　A+B=π-C }F(pM+  
4b$9MZ#9  
　　tan(A+B)=tan(π-C) ^ ~:Is Yh  
lVpi%Y bS/  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) avVtB /o>i  
-BCmEra  
　　整理可得 /NktZ3 P  
u4e%k=e  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC e~TF (b}  
A#$5>"*:;  
　　得证 q5BGrm9F  
Y|Ke~H@dx>  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 z;MX'Y  
WQ4Uq Vi  
其他非重点三角函数 C^{jvF  
7e"z'>'x  
　　csc(a) = 1/sin(a) "b<mq  
tukqR!=c  
　　sec(a) = 1/cos(a) <_qQ1W]dI  
NXe_._h_-  
　　 n}@ 7 8a  
W zn^s)cp  
双曲函数 G;HV=8':  
D? bI%6Q  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 Jr% m&YLy  
\{38{8Do  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 kFqzYOJ  
?$(T [xr`  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) g6b)NL>?  
$- r &Wty  
　　公式一： Q?@oJ!O]J  
tQqi{>*Q`  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 5BE^*Vo1  
ner6L<#  
　　sin（2kπ＋α）= sinα MF+]HWKJY  
a9) 6j  
　　cos（2kπ＋α）= cosα idN N'#H  
d+;qOnb  
　　tan（kπ＋α）= tanα ZkT-%* $b  
9G:'vpf  
　　cot（kπ＋α）= cotα #%'ka<Jy$  
=0 /EL('x  
　　公式二： FO6S3`5Q  
)=)G==CVf  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： e,!3*;7  
yV)rwp`i  
　　sin（π＋α）= -sinα m3.<hknQ:  
g6p73u9  
　　cos（π＋α）= -cosα P]#9?I{x  
{p\Jr|Zo  
　　tan（π＋α）= tanα "X00n] ')  
60z 4mTp  
　　cot（π＋α）= cotα l/l":v*~F*  
~ /|<T&  
　　公式三： *gj nuD  
`y(_'  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： e}a?K>+x[u  
;FNs {lr  
　　sin（-α）= -sinα `M+)(?D 5  
S)~PKZNo]  
　　cos（-α）= cosα _(YT<5`e  
h [_hO/+8  
　　tan（-α）= -tanα &hds2(Q!F  
c] Y.D~q5G  
　　cot（-α）= -cotα ?,iW<sHV}  
^f"fp %<[  
　　公式四： 334"K$>r>  
OwE 957  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： o_:z=Gvh   
Y %RF[6\  
　　sin（π-α）= sinα A] "];7f  
Ns4YzLl?  
　　cos（π-α）= -cosα Hli !x~@6d  
NkkH4d=T  
　　tan（π-α）= -tanα <U~"Y.0  
!i<O0}uSk  
　　cot（π-α）= -cotα sDeCd7  
p%P>$3? C  
　　公式五： <F/ 6B~5w  
.^FB_ T D  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： }Smfq$H0D  
RB">Xxer|  
　　sin（2π-α）= -sinα _:6L\*|<  
;oR~SM*?  
　　cos（2π-α）= cosα 8Se/xL+v.  
;"{o@O  
　　tan（2π-α）= -tanα .`JN.W`t.  
F*=j:~32  
　　cot（2π-α）= -cotα n[  
Zgii>9B7mZ  
　　公式六： U[v9Nc#  
y""swn]:  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： Vbearor  
z\Rpho <l  
　　sin（π/2+α）= cosα u.bc?  
y!us"9 C  
　　cos（π/2+α）= -sinα {[yd9A\E  
^F=eH\  
　　tan（π/2+α）= -cotα &(MXDO` TQ  
' gj{Wrt  
　　cot（π/2+α）= -tanα VIZ4UA:2_`  
lw96l3*~  
　　sin（π/2-α）= cosα WhG S&u!0  
Z$_bHj:6  
　　cos（π/2-α）= sinα |tJW! ]Xk  
:iHyl ek  
　　tan（π/2-α）= cotα ezRBZ0tp  
Nv2vek  
　　cot（π/2-α）= tanα DMOq+6+fc  
 v'_{#  
　　sin（3π/2+α）= -cosα -GWVB:@Z  
QHhuBXF d  
　　cos（3π/2+α）= sinα Nj'#tp/Vq  
 Slpn1WO  
　　tan（3π/2+α）= -cotα WiBvz  
<qTD6mSh  
　　cot（3π/2+α）= -tanα Fc_?~L  
.U<|wS#g  
　　sin（3π/2-α）= -cosα l0!);`9_  
J a?J H  
　　cos（3π/2-α）= -sinα p""5rA*+  
)(MMOTB86  
　　tan（3π/2-α）= cotα [C=tYuAC  
cjIu1$P;  
　　cot（3π/2-α）= tanα YBuP jO0  
-$2z7 #  
　　(以上k∈Z) -BT lV940  
5`gFY~   
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 =n*ZS-:=P  
SIMS+u_  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = e!Un9 ?5l!  
E'TB;\[T  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } &}*RtN',  
n'MU?:h`  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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