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日志文章


2009-09-04

  三角函数

三角函数内容规律 C U@jg  
)#[o'ke^  
  三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. &n[AL'b*  
zZTWk,]n  
  1、三角函数本质: CL\cD%!l#R  
`WzOiAcU\  
  三角函数的本质来源于定义 !1a?_RO  
*DJl|1V'  
  sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 <6eqK~q%W  
][4[J? ^g  
  深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 =F 3N j  
rQ~s_sNU  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: {Mi1_tN/  
.??d7SpT  
  推导: `za|9)8  
7@nVtA;  
  首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 |\ ;H[2%7!  
+uFm}I#,|  
  A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) [l+`q|FG@  
lC 3[!+  
  OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) +isd,@  
g$Xd1MCB5  
  ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 dYA1@7  
V^+peTaU  
  和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) ]\ih^E  
r`G M{(  
  [1] YLOx S  
z?@[&YWZ  
  两角和公式 q-(?>D0G`  
r[y(nNo  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB A]dtx+I  
 QIxd  
  sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  Ku gZO /n  
^<u7 Gg   
  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 4.aa@rd}a  
*\h!1Nq~qm  
  cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB P! ^\]^T i  
5%A{UZ+)z  
  tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) /%J #!z6q  
f<W<\'}  
  tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ^K4&AoZ-{H  
X.VU  
  cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  <)srQNE 1  
T$Lc$c  
  cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) MgY#9JRU  
W s_p C  
倍角公式 d ,'u6  
rSW<*szN  
  Sin2A=2SinA•CosA L$>8@0yZ|  
fvU#,d| ,  
  Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 s8tKW.7D  
j@h xB 6  
  tan2A=2tanA/(1-tanA^2) w 9 C[Z,  
*u\#o wL;  
  (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) dT>(oqO  
&o 7=c7IV  
三倍角公式 0Kb}t@(  
]1Rmf  
   -`H}u}  
;Z#\]'<@  
  sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) = Eg{9R  
E\KF`GcD.  
  cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) VJ=~k=(  
*}\m :|{X  
  tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) T="3Q;#E  
O?)?b.5  
三倍角公式推导 f$Wj  
A't70EOf\a  
  sin3a n:1FGn<]  
:WJ=Nt(Ai  
  =sin(2a+a) &{6~WRc5r  
dS"meWy  
  =sin2acosa+cos2asina :rA2S0:N7  
-TmQ>9  
  =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina k%#[eUD4  
= /Dgms~{  
  =3sina-4sin³a Y  5[T5  
}S^.R'p  
  cos3a fg>yCxbf/  
Y8bH> W  
  =cos(2a+a) e1%v+ [Ga  
Z1}V`!{D/  
  =cos2acosa-sin2asina ( a~AB+  
y> 4U  
  =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa rMag *S1;  
Imq`w^h|8  
  =4cos³a-3cosa Dp;pIs  
Z%^6< 8  
  sin3a=3sina-4sin³a \.}A9P  
DTVa@k^K  
  =4sina(3/4-sin²a) ^/nict3  
bQ RnV  
  =4sina[(√3/2)²-sin²a] ^~c 1y35  
\!d9VJ   
  =4sina(sin²60°-sin²a) 4,[JS5!T  
+0vlC  
  =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) \PcO_(>(  
k8%X3Uq{  
  =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 7L#r(LO  
.:? ^)K|hO  
  =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) `Z0A=  
x e%~  
  cos3a=4cos³a-3cosa 4Yu#Yy9k  
jkkmO!P|  
  =4cosa(cos²a-3/4) m^7+dN_6w  
^i(}Aw  
  =4cosa[cos²a-(√3/2)²] @9W34 2  
o:nqJ\a  
  =4cosa(cos²a-cos²30°) bR0N\QR,;  
$}`B4 V  
  =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) mS jIs  
!KhFQb  
  =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} &-GqwxXI&  
ksfz-0M<!  
  =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) e{<v3]Zv  
km%`*oNDJ  
  =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] bozM3 bv2  
z^;W9Jz|  
  =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] =-SjH:A R  
3$Yy^{Gy8  
  =4cosacos(60°-a)cos(60°+a)  w9Q7  
wy `AykS  
  上述两式相比可得 [3)TG8zif  
`o6WGGc|y  
  tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 5[hY)F~b  
UCMqx>&  
半角公式 c,zxO.  
4_Uwa|j  
  tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); B^/d5n  
GT X )3l  
  cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. GlFl$ yK  
DHK?<qjK  
和差化积 = eU7^R  
&x:*QD  
  sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] xkv 1Id6  
/ -V  
  sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] UZx>08UA  
*NMnumz5%  
  cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 0@uln6J[z  
cm 8WH1  
  cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] md_/kei  
2 ]$l" YDZ  
  tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) ,0q`;;7r  
f&'vz t  
  tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) v1:c&w&"o  
}8f~/L'7  
积化和差 z8.W(3 &x  
?>x2 ?O_  
  sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] M M-)d.  
yvhXxD  
  cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] B}x^J`WpC  
bb2v9zB  
  sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] Bjc<0&&  
l(S>;U  
  cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] '[U^!ow`p  
qx]>6`~  
诱导公式 nIYdE~J?m!  
~! xBq  
  sin(-α) = -sinα +il+\+zuN  
peh 3buG  
  cos(-α) = cosα AB5rnGC  
_&~A  
  sin(π/2-α) = cosα 1|\aI1T2 x  
LG <\0 y4  
  cos(π/2-α) = sinα 'guZ7+ SDi  
<f7b3?  
  sin(π/2+α) = cosα _ OaJ]%M  
\lL 'DL]5  
  cos(π/2+α) = -sinα .!~Uw'/~  
$c4"g$  
  sin(π-α) = sinα L-O-h3II<  
9Z0;FG)  
  cos(π-α) = -cosα gj)K  
O{X(JK. /t  
  sin(π+α) = -sinα "(tR {wHd  
`|k.s@;cO5  
  cos(π+α) = -cosα _avnI<~  
GM/FK1+  
  tanA= sinA/cosA P-xMW0Fq  
\ M2hy\q  
  tan(π/2+α)=-cotα {q;}+ (z  
{uU\VGh  
  tan(π/2-α)=cotα !(%3L~.  
Foh4 o  
  tan(π-α)=-tanα P3PA% 5  
4{)BT4\*UC  
  tan(π+α)=tanα ZR 28DM)G  
<{,A[eY+  
万能公式 ?Q*VS  
??1(:(@8  
   6qWX;E  
R8x4n3K}N  
其它公式 QU,@Acpzv  
'gU2KQ *S  
  (sinα)^2+(cosα)^2=1 J[zdl;-J  
gad@*RL  
  1+(tanα)^2=(secα)^2 TU7ul\@$  
/i= ~CLr  
  1+(cotα)^2=(cscα)^2 NT!;Az3a  
M]Jffc#_  
  证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 `?;^]p?e7  
R9@{HwW  
  对于任意非直角三角形,总有 T EX*(]   
Y<Q:w8:  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 4IUIE?>  
P(KD>bFL]  
  证: \BS` )DL  
`A<Kd4b!|  
  A+B=π-C vbw!D5J)d  
+zwU#w3)  
  tan(A+B)=tan(π-C) 3)}^,e#  
5v]uoS~  
  (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) D6*6`  
- 6X 9RJ  
  整理可得 ,)\ >7a  
V7Yj?B  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ~ 8 cF:{b  
!/ zI}ow  
  得证 e&O }f$P  
<E?hC.D  
  同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 %l7&m$2n  
r0[ujDY  
其他非重点三角函数 !n}@!&X  
]e'%:3  
  csc(a) = 1/sin(a) c|-je[<  
ZJ]-XVU`F!  
  sec(a) = 1/cos(a) bAC'gF  
<odbh2fZa  
   }4H^  
g:N^ B:  
双曲函数 aa`W1Qu  
}x/9w~D]Iz  
  sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 1%J   
c="%iXF/Ul  
  cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 hVfiN^  
TkbrJ62X  
  tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) MsAnw<Yt  
bw&up@7yBA  
  公式一: PtP\VAHS  
sACT]ws  
  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: 0pfN]yGQ  
tq$W zdq  
  sin(2kπ+α)= sinα (pdF\-|\$  
585l<L  
  cos(2kπ+α)= cosα  :03x[Zgm  
@X?oB\  
  tan(kπ+α)= tanα +`fOav,]K  
0'EK^!   
  cot(kπ+α)= cotα UjIR {['  
ut.8 etx  
  公式二: #Lbf/R))  
]<0v/wG  
  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: ZPUEE1Wo(R  
i^N DC-s.{  
  sin(π+α)= -sinα c0IF+  
Anw)th  
  cos(π+α)= -cosα GL47*-A  
'Op^/Hh  
  tan(π+α)= tanα ~]hK #G#M  
z B{nJM+  
  cot(π+α)= cotα 5MW[~+#$7  
CY~d- 8.  
  公式三: )Z0T07lA$  
Fj\<:6JZ  
  任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: Xg"*h*VT  
kk\ljL;v  
  sin(-α)= -sinα #SoX;+Wm@  
2hZ![O`1t  
  cos(-α)= cosα 0 3L*97n  
w\bRVIfI[  
  tan(-α)= -tanα y$0T2~%H  
HZ;(;.H=  
  cot(-α)= -cotα v[F!&a 'I  
+{Aq`^  
  公式四: J[uXw6D}  
s%}2M+h8  
  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: bP}LAh:eH  
'IT#CI 86  
  sin(π-α)= sinα *CP9EjYZL  
#5l"*O  
  cos(π-α)= -cosα MLx  
C0ayc YWV  
  tan(π-α)= -tanα "yRxtnV  
*hz/>t;:  
  cot(π-α)= -cotα a.DRr5'  
0R"* <!&)  
  公式五: ]nGb.V+  
 el|Y?87  
  利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: EVK%// I  
fkEVt/,  
  sin(2π-α)= -sinα qD R y}?  
>.]2c  
  cos(2π-α)= cosα RFk7 j\K  
>p ` ?z  
  tan(2π-α)= -tanα y>={G-"  
ckcq{5B=  
  cot(2π-α)= -cotα h U{f^NE  
}Z[=x 7m  
  公式六: :/5@2m  
PW  RF$]~  
  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: $ E]/~:=  
9tf%e.66D  
  sin(π/2+α)= cosα }ds~Bf  
{=ey>(s  
  cos(π/2+α)= -sinα \a$ &lp4U  
JQd"t RUFk  
  tan(π/2+α)= -cotα k?@96/X  
p18SY<2  
  cot(π/2+α)= -tanα p='+NWHdp  
SOxX%z  
  sin(π/2-α)= cosα tn(ci \i=  
mK w+  
  cos(π/2-α)= sinα y:~@}<}9o&  
L W"S  
  tan(π/2-α)= cotα 4R!(&S  
 x1}l*3w_  
  cot(π/2-α)= tanα OA^Z:  
faFu2*@"  
  sin(3π/2+α)= -cosα !A~n?Y&0  
T8P&p-{'.  
  cos(3π/2+α)= sinα |&1.Fz!qP  
tq_n3_  
  tan(3π/2+α)= -cotα z]fnU h&q  
qW0x;N8  
  cot(3π/2+α)= -tanα ~z\{d?>g  
|{?IU60[  
  sin(3π/2-α)= -cosα b8S)dNpr  
E]Bh'Ju%3  
  cos(3π/2-α)= -sinα [<rN {Ac[  
B>[ :9*]G  
  tan(3π/2-α)= cotα @A9Pagq@  
Q S#D  
  cot(3π/2-α)= tanα 7{zXDdN   
U_bqEi  
  (以上k∈Z) lYa3  
Rd7DR<  
  这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 'Z3m!~Ed  
pF9#P  
  A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = Cg h5wG+  
nGFQzj  
  √{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } +xQQrT:?  
^K942PS  
  √表示根号,包括{……}中的内容



迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
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