日历

2025 - 6
日 一 二 三 四 五 六
1234567
891011121314
15161718192021
22232425262728
2930     
«月» 2025 - 6 «年»

存　档

日志文章

上一篇/ 下一篇

2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 -C<mPg5)  
KsN`R=XPVS  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. \1$^^8?  
t."9/Neh  
　　1、三角函数本质： ABw5 :  
[:OK%% x  
　　三角函数的本质来源于定义 &6xx%g31  
$sZ\|d "Y  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 ? [^$dNv  
7`Ir& 7o  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 J{)~L zr  
!GYQ<zV  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： ~avz:bWYV  
|"X6+PjKJ  
　　推导： "(57#{Qd  
z+%IR  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 'AVH`}  
nHzA"Z&  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) [BXxbv+^`  
qCV   
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) w]2*D?~S.  
-z=msGB1  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 F]dN4*T  
b[p1Gt8,6\  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） OX+-Nl  
b*Hb :   
　　[1] r1P~$H  
"wJ`eu6 2  
　　两角和公式 1JDOMO^!  
@!Y-+0f|"  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB }6bJW/55  
f\FH<-  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  vU\li0:l  
Llwg8>   
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB . MGOtM"j  
c]vwvs  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB bC^3P$  
: wnu{eB  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) !|5b&X)  
 'DA,+*t  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ^o=`I"  
b-lq:SytZ  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  # ~^CT >J  
gH?]sl  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 21xqWrD|D  
5QW;k%  
倍角公式 bxJ NP3{Z  
O`lKSwJ~  
　　Sin2A=2SinA•CosA qQVn~A  
b`=HK+Ob  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 f6k7P:^Wl;  
s/ 9I A  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） qyc4<sfXc  
`@ >fdrmb  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） U18`(jc  
LRO#j"UR  
三倍角公式 U mxP>  
gd5we8wQ4  
　　 {\8_}}[<(  
v_rT;#  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) Fc \Ytn2A/  
yJ!+,Wb?z  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 5v+.emz  
-IovUO OJ  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) -bg=^!]Vz  
D~s). kpK(  
三倍角公式推导 &QW@-  
Uc2Ga  
　　sin3a x rU(RL  
wMv|II-,kq  
　　=sin(2a+a) S`wUrD26  
rn*]O`mk(e  
　　=sin2acosa+cos2asina equCilC  
o8fqEl+H  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina B hspDA#  
\,f!>bq;?  
　　=3sina-4sin³a }w{&  
ajW>By7'  
　　cos3a ]\f%U4g(]  
<6e8Ih  
　　=cos(2a+a) 8!bp-+4of  
M8] k3W?  
　　=cos2acosa-sin2asina UO6#YEM$j  
.GY$\=A  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa SW3S0 g  
Wh4mlA  
　　=4cos³a-3cosa  )k FV0w  
Mgjac]  
　　sin3a=3sina-4sin³a ?%HyZblLj  
#g4C7{:Aj  
　　=4sina(3/4-sin²a) q=r81oG  
X }0@Z)  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] tVH8z(6]  
+)|-/fIJ  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ZY>Dqx)  
g=?Nw<>b=  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) >/R:Ni ]O  
~egyZ>; 8  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ^?_ =5%  
NY<I@4?N  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) eW-=DOE3  
2LJ@6cCp  
　　cos3a=4cos³a-3cosa H" _@R@B  
[)<D$& I  
　　=4cosa(cos²a-3/4) a#UPMq$1j)  
!sv84IZ.;4  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] U0>*bm`zt  
)o6HtF^J&  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 1q1^s=  
v/TH`$:}  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 2:N,PvLQ  
{MPT7V  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} -Tl*oqOt/  
#%!4QkH  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ''%nGTr#  
X->YzNo  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 44*l*/$  
>?H`J:if*  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] xG\7y#e  
>56kpibKX  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) p$  #iTR  
# uj2L$  
　　上述两式相比可得 PE<j}h\  
JS4#! L>{  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) YF`,JN\  
| C!h\2,  
半角公式 9hV!D5QQ  
Z /iGdqv  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); EZih| E  
^bHhizcF(  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. i(^hD+b)YD  
 b9THU  
和差化积 .xRSEQ/  
Y |`WzLY  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] t7 Gw$Im  
%QJxu8F#I  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]  8e<  
`M\ N&k  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] zuoXK_p_  
g5O(%Bsng'  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] XoSs[|aja  
V2d/|7kw  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) f] 7TG  
>Dbk(< B^  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) s_2^2o[r  
`*Yt26sK5  
积化和差 R, s`7*  
>}-ArB{0p  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] u(a>S3ru  
"%NcQ   
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ?b7LRB&!)  
176:E_&\-  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] E\o;[:0  
&+b^Ot  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] h(I5=ma3Y  
}]/Wa,&sSl  
诱导公式 <szmL6,  
,pD:H\>kY  
　　sin(-α) = -sinα ~lu-]\5w  
S*@}DQ>*dy  
　　cos(-α) = cosα h2;l` Kh  
i77h"D  
　　sin(π/2-α) = cosα TSjm/vb}!  
i9oX#l>+  
　　cos(π/2-α) = sinα e0pB4dg  
4V{M  
　　sin(π/2+α) = cosα 1xSI/p  
-L%eu3  
　　cos(π/2+α) = -sinα *M0L)q  
mp}6VL)  
　　sin(π-α) = sinα S=ItR.W  
6mX?qHo  
　　cos(π-α) = -cosα R6f^MQtt  
l6$h0<wc|s  
　　sin(π+α) = -sinα L O2|N~z?;  
uM)hbm  
　　cos(π+α) = -cosα Z6?>620O5  
r8z**Q[  
　　tanA= sinA/cosA vgTIKDNNj  
~CuA`Ll  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα Cm3khtz]  
dE Z;  
　　tan（π/2－α）＝cotα $"((7KCjy  
{hY9\;WzGk  
　　tan（π－α）＝－tanα X=n5 <T  
+;2wg-Wt  
　　tan（π＋α）＝tanα I|L-e[b0  
60I C5,C:  
万能公式 *]g<  
"|5d`.n  
　　  bjIF9}  
m}`(DF.9x  
其它公式 >_/|aI ZFy  
UK [*eCZ  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 H >v,r:(  
6b|~MO"nK  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 zTG2H\5  
eN Br^L  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 r"pnKn@  
&(zub   
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可  g ism  
<2jLFj SQ  
　　对于任意非直角三角形,总有 U7 (Rf  
?dzhv-ou  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 1lySG [5   
3VGl:I3  
　　证: q;4A:Q8K  
&\c|sL<H  
　　A+B=π-C {OA[X">=  
>NpV\xb  
　　tan(A+B)=tan(π-C) W7_ -Lhk  
Hg<]S/  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) fz":/>z$f  
jTwZG2[  
　　整理可得 "0u>e?RZv  
Mr!+</H3  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC F ]^c12r  
Ic(?1%ql  
　　得证 {dA N(g.  
^hL%3q  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 x#=&$Fq0  
LvM|iM4q#  
其他非重点三角函数 R oF%L7[;  
2aeWNPu?  
　　csc(a) = 1/sin(a) 2 hy~Q  
O}]`4 io  
　　sec(a) = 1/cos(a) RC}r9w `dV  
44!o8gQ$  
　　 w\ can aUM  
.h`}cn*v  
双曲函数 (Qp4 Pz#a  
Ds}Owo;I  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 QewC:*r4  
,9DkzNpe  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 !xrinN-mX(  
1? ~J\_8  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ah:'J@oK.  
gFVq1.G  
　　公式一： i2@ 6YG_q  
Sa <n:Nx  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 'Y.Tb!GGu  
)*6^a  
　　sin（2kπ＋α）= sinα qlopzh  
}5GsPf  
　　cos（2kπ＋α）= cosα WO@&JB}I`R  
/R<Rb  
　　tan（kπ＋α）= tanα 8)6a 2Ia4  
kfdn$/-v  
　　cot（kπ＋α）= cotα .7io  4  
Dv`#2  
　　公式二： J+c l" C  
+_ Kq0  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 0 cC^/s_}  
9G+ -.  
　　sin（π＋α）= -sinα cKqxKjHw  
>  z.d9y  
　　cos（π＋α）= -cosα QB)4%Q  
:?7QKe:  
　　tan（π＋α）= tanα |V-aY3cY=  
plwsMe.  
　　cot（π＋α）= cotα ao\|Di`f+  
CjcNH+zeA  
　　公式三： X*ZhFjs44  
{X]9)/  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： {MD\iO6  
S15;MCK\L1  
　　sin（-α）= -sinα '^k,( o5  
I[hE<Dd2  
　　cos（-α）= cosα ,F3[  
!+6N4b`E  
　　tan（-α）= -tanα HECf,S  
3x+  I  
　　cot（-α）= -cotα `/8n<R4o  
o\Q[@ gw `  
　　公式四： vFeuD<  
d& 10"i&G  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 4g~v\kw  
O;*8]L'C  
　　sin（π-α）= sinα zH;M"yF  
-N2O<Fi^  
　　cos（π-α）= -cosα r UzH=:b&  
v;96#" ?  
　　tan（π-α）= -tanα B4,FoOs`  
]/6\8[  
　　cot（π-α）= -cotα KfjS2,')F  
,"%hqV2Y  
　　公式五： _Z#O4+<  
[ #"3()tn  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： rq|o4l/bs}  
Ow$\svS@  
　　sin（2π-α）= -sinα !7&W>[H  
KE6y@?iIO  
　　cos（2π-α）= cosα }A}vI <-  
J10bwz  
　　tan（2π-α）= -tanα &`[]"W  
tyS-:HZA  
　　cot（2π-α）= -cotα D;Po@e/;  
ioqp\X#C  
　　公式六： [%r Y+|vZ  
%6Z;~&4{3  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： `2h:GbTK  
vvg>`GEl.  
　　sin（π/2+α）= cosα LM^O v!J  
N gS)PfT  
　　cos（π/2+α）= -sinα XI l  
`*e#uSg D  
　　tan（π/2+α）= -cotα b#i%?z}B  
F_l F ,.G?  
　　cot（π/2+α）= -tanα b}h/Zf7V  
l %_8Vr  
　　sin（π/2-α）= cosα Z:svl^>h^n  
bMN 6\  
　　cos（π/2-α）= sinα "xFP( s7  
7 ;S;tt\  
　　tan（π/2-α）= cotα &I`nL)'  
#: m2<_B  
　　cot（π/2-α）= tanα U"0V*azM-"  
!U6i&K  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 1O65^  
{aZ:Nd  
　　cos（3π/2+α）= sinα s/QIz01  
z~Gx0b  
　　tan（3π/2+α）= -cotα :`vMi=9M  
,Y(H8=\3  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 5KT[-V  
%O'N,{RbT  
　　sin（3π/2-α）= -cosα buIaZ  
UG^}A&B  
　　cos（3π/2-α）= -sinα :Ju!TIUD  
N(SN  
　　tan（3π/2-α）= cotα iLI4e5   
(BPVxGdrI  
　　cot（3π/2-α）= tanα sdljsPQ&m  
E]}LFH<  
　　(以上k∈Z) '6_l !h|j  
Q;i+qWV  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 <" tM\E0  
`d)C$hvtG  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = z_:f>`<  
*eNH %]%  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } M;g]"_  
~jc-5  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
类别： 收藏 |  评论(0) |  浏览(16300) |  收藏