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日志文章


2009-09-04

  三角函数

三角函数内容规律 ~+gk5D  
5<A,Fd7I  
  三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. a&0 j&-|  
_j0V(S^&  
  1、三角函数本质: SakTe4y#  
)~-,hL3R  
  三角函数的本质来源于定义 ZnvCj1/<K  
2ao~!`U,L  
  sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 4xw!e{j  
:WGz;$~N  
  深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 ].TC TQ=  
Uc7qQ NV_  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: T=5qSHI&.  
3(TgE#>)  
  推导: ]v9[P fW"  
id 4HgN&@-  
  首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 X78 ]!\m  
9N MOrY_g  
  A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ?1R!4ktZ  
nwIV4;EQv  
  OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) uZQPw,>  
clBK7V  
  ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 . u)^9Cusj  
Kmq5DI:n  
  和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) ;{5_s[  
_WY_*   
  [1] [KN0'  
,b rY;lYI  
  两角和公式 *{ wO Br  
Ja;F/:5  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 0t;~5.%  
8~Ib)# tm  
  sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  )BoA&%2#11  
YV1"QT6=@  
  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 6sfqrQO\  
&W t>pms  
  cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB Gv+hvUl@lI  
:_;tK  
  tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) :!v:f$m  
< DNRH.'  
  tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 3%;pQ5`~?  
+N=PCJW0l  
  cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  H8j&UXps  
.M bK;b.[  
  cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) B_loMe  
o&]3k  
倍角公式 Z%6C%vG.og  
yq_7@Z  
  Sin2A=2SinA•CosA _^96+SN~  
e74_bBbA  
  Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 `83i9  
TMNggux  
  tan2A=2tanA/(1-tanA^2) y^}uqDT.Gr  
D7Q+Y:8  
  (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) 3kv}6  
Le_r~nO-  
三倍角公式 @AUr.b  
Us=$ x  
   h"+W\G  
OSEp(:1  
  sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) c` HNn6hn  
> 7$xT+JQp  
  cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) $pQ{HD  
VwS0 hGwl  
  tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) cJ1j  
.KF5DfP?  
三倍角公式推导 J,s vXS)  
% !w\O]~  
  sin3a Nkl8\!m;z  
~ irEyh:t  
  =sin(2a+a) 1ECo{^OtI`  
b_JD{)wtM  
  =sin2acosa+cos2asina L\:RU  
tZ+"?{~a  
  =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina &Df|4-9 1  
&A&&N.wE  
  =3sina-4sin³a n0_Z@  
swOz 5K{  
  cos3a TvgPOF<nl  
{ ANU;F&  
  =cos(2a+a) sV.e cYW  
hb/Z5ry  
  =cos2acosa-sin2asina `1 *+q N  
n=<g=:_E8  
  =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa R6D8<qh  
Q=i8Vdx=9  
  =4cos³a-3cosa 2X%0}1b<m  
3,Xy\Mn  
  sin3a=3sina-4sin³a VI0[pgOG  
%{h-ZOGo5  
  =4sina(3/4-sin²a) sgZw1kt  
gL%/'M#gW  
  =4sina[(√3/2)²-sin²a] 3Q+ vB  
um][oGy  
  =4sina(sin²60°-sin²a) s)Y[J:h  
0`hp40aF  
  =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) e\9!y[Db  
{7[$  
  =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] _ <2pm5  
b JdG[\  
  =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) Aj &bZ Oq  
nfL7lH<1y  
  cos3a=4cos³a-3cosa V'W;{M  
e> }@kv  
  =4cosa(cos²a-3/4) yIO,Z}J$  
n(%IC^oOO  
  =4cosa[cos²a-(√3/2)²] >80!nmnh0.  
wC&zOt@D_L  
  =4cosa(cos²a-cos²30°) =7-%.  
Lg0_S%v  
  =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) }q0 hs)^z  
tg`suMWV  
  =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} >)rhm;D.   
2ojY=`Ch  
  =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) H/qR #b8  
8dv%Rz1  
  =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] RPl+,`Mg#  
)hZN3O  
  =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] pXxLP{ :  
mLc-YIB  
  =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) O:o_Hydt  
!w59=  
  上述两式相比可得 E.2sh=  
LXtY8X  
  tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 2DAID)E~D  
0snaP,b-  
半角公式 #6wYsJ  
$ udqi&  
  tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); N}ZFHVD  
etw>\"Q:*  
  cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. *s#)#@  
Q)7_$3M  
和差化积 :<YZfYlE  
!{"'"g  
  sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] XH$<JD|  
f@V3s<#P  
  sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] O]YBBg="k  
|W&n)(  
  cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] FG3HKFPJX  
D>XYX:a%\  
  cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] [ktq%C448  
6$ @ufxq  
  tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 0 -'~97z  
,)z#Ww   
  tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) w,du:jv  
ZFk{lC^2<  
积化和差 Z6F wN}T  
Gicp+elMU  
  sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] .K5d;6]  
x#7; +7*  
  cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] mfK]1  
9g\ 0WA~EI  
  sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] Fz&LXl_l  
uv]YX5s  
  cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] wrxt7g  
j>x 3,,  
诱导公式 @ a}Kocf  
q,A5A`So  
  sin(-α) = -sinα KL4"H>73 f  
@Z']IZs  
  cos(-α) = cosα q&djm)9QX-  
$oKo(X)  
  sin(π/2-α) = cosα 2;9(vA,  
u,EO3 1  
  cos(π/2-α) = sinα AUI_4!+GQ  
iKuJQ|M  
  sin(π/2+α) = cosα {`"%cD28 ]  
Qf3M|eR  
  cos(π/2+α) = -sinα # hSTp  
LEh3RBsu  
  sin(π-α) = sinα bo5`@$`  
QgJJP Rx?  
  cos(π-α) = -cosα D\5fp%NN)6  
1]9|C%U&  
  sin(π+α) = -sinα !X}Y_n$5  
"Bnik'<a  
  cos(π+α) = -cosα M|~#`5bVJ  
] ?dL/t3  
  tanA= sinA/cosA uW<(O0 z  
CH^Ar"_1Mu  
  tan(π/2+α)=-cotα S?B /`@,pm  
aU`jXz5Qg  
  tan(π/2-α)=cotα =zCVax,b  
8+H.9$Ou  
  tan(π-α)=-tanα So958>tl;  
*l;m9\o  
  tan(π+α)=tanα {UJY1 oy4  
;86nco1  
万能公式 .$in7vin  
< 2%y'.  
   :&w5gnZ*  
qp/-j* @3q  
其它公式 *::lUtoW  
ax%PSb/  
  (sinα)^2+(cosα)^2=1 #]xD_ b  
@G^:A'g<  
  1+(tanα)^2=(secα)^2 "N}2tArMVu  
}(-P=N2A`  
  1+(cotα)^2=(cscα)^2 e)DI+'  
,@u@jK  
  证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 R?v(3l \  
1NA"\,38  
  对于任意非直角三角形,总有 Vov%m  
M`44+_+gU  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC U+ @0L+o  
H^;>nf   
  证: 7QV|UD)  
@c/| %PS  
  A+B=π-C SI2 ;-  
fYQ~pRFB-  
  tan(A+B)=tan(π-C) (_TzzgK&  
PjI pvB   
  (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) Cr^t7  
`KO>Op L  
  整理可得 4W[@ZUWal  
~ZufLf  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC >THU]G]I  
yD=C&A  
  得证 6:<g9;};h  
Vn (IN  
  同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ",d[D-*g  
=w y)sf$  
其他非重点三角函数 ,'x5~\(kXv  
Jl8=kRb.H  
  csc(a) = 1/sin(a) DZ[-vL9T  
CZ%yH7"  
  sec(a) = 1/cos(a) }Hx9=  
JekH)J1#  
   oC`R7O4?[  
gwK/$c  
双曲函数 +K\"#C  
%Wc0  
  sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 dEAC]d  
)Zj\+'[0  
  cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 g//ueQ7k  
So:}Vn?r#  
  tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ^j=O*K2  
A^ %2nkl3  
  公式一: #)ay_M@{  
$% OXS!  
  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: Y\kPG1m  
CdrB?Ps@f  
  sin(2kπ+α)= sinα D@aJ-  
#GPV3Y)  
  cos(2kπ+α)= cosα PjYjb%  
PqKC^vD  
  tan(kπ+α)= tanα ;eIw_4 H  
zH"(SZ CP  
  cot(kπ+α)= cotα _ptc%@^n  
5Gag)TQr  
  公式二: ^h4^p0u9m  
|#]Kn<G7  
  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: J b&V;f  
@GW^+9  
  sin(π+α)= -sinα 0T FS"5ub  
'hBG+1i+  
  cos(π+α)= -cosα L~a5-2-L4  
3O&}nU.  
  tan(π+α)= tanα u ^CL*!#!  
QyF TDsB  
  cot(π+α)= cotα z#&0bS  
f:|(^.lL  
  公式三: z3*Z##X>SJ  
mx?>aJ;J  
  任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: +$6_3;%  
+zT7aRGt)  
  sin(-α)= -sinα <i%  
$dKLx`fd  
  cos(-α)= cosα j0]>}!<  
53u~+?  
  tan(-α)= -tanα b29~TT!a  
R aAz |w@7  
  cot(-α)= -cotα ndm'Mh"  
.<x<GE  
  公式四: V^_EW/Q8  
G 6lW`y!@  
  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: T(G@=[Ng(b  
vtf)RDe_@  
  sin(π-α)= sinα {-'AEgj  
r={E "^-z  
  cos(π-α)= -cosα -=gHYp?y}.  
U*PkdHG  
  tan(π-α)= -tanα b),u%Ay"  
5&4hu~&9  
  cot(π-α)= -cotα G+r[K. 1j$  
'u5DoLg  
  公式五: ,8G5w  
$r3F6Kg  
  利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: hLN/R|M  
(_[Uec]l  
  sin(2π-α)= -sinα F\< AOu7g  
mOdCR @D!  
  cos(2π-α)= cosα h-c/^Dg  
2/.VJ3cmC  
  tan(2π-α)= -tanα di"}~T`j  
l,%2@Zt  
  cot(2π-α)= -cotα IO,O>[M%  
5S,Ja{x)  
  公式六: 4 >-i?Z  
Y-akNU$  
  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: ,iu:*u5 7  
KV?)?Mtf:  
  sin(π/2+α)= cosα B] \o  
[^g.G.2  
  cos(π/2+α)= -sinα +1 35+JIU  
K^?{11  
  tan(π/2+α)= -cotα MGg|PsM  
nQM" %{  
  cot(π/2+α)= -tanα zB9>8Dh'  
4DRu!8  
  sin(π/2-α)= cosα 0TpO|]]$6  
?(-C7h\x  
  cos(π/2-α)= sinα wtFGx<  
q|)sph R  
  tan(π/2-α)= cotα 7?_G:Gc<  
[u.95+|&  
  cot(π/2-α)= tanα Re5iX\V  
o8-]&uf  
  sin(3π/2+α)= -cosα -Ku&kb  
3 //.|xK  
  cos(3π/2+α)= sinα Gp~ 9tzG  
T3wMi&mT  
  tan(3π/2+α)= -cotα ,MyFPVs1.  
kKQ@k@`  
  cot(3π/2+α)= -tanα ~o8:!-Q,.  
Br&Q^mD  
  sin(3π/2-α)= -cosα xZX h[ \g  
}X]3&!Z=V  
  cos(3π/2-α)= -sinα <LJN{`S  
JSPnJCS ,  
  tan(3π/2-α)= cotα JO$o=|ZiZJ  
b2~o`cFF>R  
  cot(3π/2-α)= tanα &{gE  
tTuQGgjR  
  (以上k∈Z) =#4~;){JH  
(.Y$Y*bo  
  这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 l=]xR$\ i  
fOVw 1_  
  A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = a,'SqYKBN  
<@'%<r4&  
  √{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } oJ,anwy+!  
^a@t~VNW  
  √表示根号,包括{……}中的内容



迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
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