三角函数内容规律 ~+gk5D
5<A,Fd7I
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. a&0 j&-|
_j0V(S^&
1、三角函数本质: SakTe4y#
)~-,hL3R
三角函数的本质来源于定义 ZnvCj1/<K
2ao~!`U,L
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 4xw!e{j
:WGz;$~N
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 ].TC
TQ=
Uc7qQ
NV_
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: T=5qSHI&.
3(TgE#>)
推导: ]v9[P
fW"
id4HgN&@-
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 X78 ]!\m
9N
MOrY_g
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ?1R!4ktZ
nwIV4;EQv
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) uZQPw,>
clBK 7V
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 .u)^9Cusj
Kmq5DI:n
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) ;{5_s[
_WY_*
[1] [KN0'
,b
rY;lYI
两角和公式 *{
wO Br
Ja;F/:5
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 0t;~5.%
8~Ib)#tm
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB )BoA&%2#11
YV1"QT6=@
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 6sfqrQO\
&W t>pms
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB Gv+hvUl@lI
:_;tK
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) :!v:f$m
<DNRH.'
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 3%;pQ5`~?
+N=PCJW0l
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) H8j&UXps
.M
bK;b.[
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) B_loMe
o&]3k
倍角公式 Z%6C%vG.og
yq_7@Z
Sin2A=2SinA•CosA _^96+ SN~
e74_bBbA
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 `83i9
TMNggux
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) y^}uqDT.Gr
D7Q+Y:8
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) 3kv}6
Le_r~nO-
三倍角公式 @AUr.b
Us=$
x
h"+W\G
OSEp(:1
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) c`HNn6hn
>
7$xT+JQp
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) $pQ{HD
VwS0
hGwl
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) c J1j
.KF5DfP?
三倍角公式推导 J,svXS)
%!w\O]~
sin3a Nkl8\!m;z
~irEyh:t
=sin(2a+a) 1ECo{^OtI`
b_JD{)wtM
=sin2acosa+cos2asina L\:RU
tZ+"?{~a
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina &Df|4-9
1
&A&&N.wE
=3sina-4sin³a n0_Z@
swOz 5K{
cos3a TvgPOF<nl
{ANU;F&
=cos(2a+a) sV.e
cYW
hb/Z5ry
=cos2acosa-sin2asina `1 *+q N
n=<g=:_E8
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa R6D8<qh
Q=i8Vdx=9
=4cos³a-3cosa 2X%0}1b<m
3,Xy\Mn
sin3a=3sina-4sin³a VI0[pgOG
%{h-ZOGo5
=4sina(3/4-sin²a) sgZw1kt
gL%/'M#gW
=4sina[(√3/2)²-sin²a] 3Q+
vB
um ][oGy
=4sina(sin²60°-sin²a) s)Y[J:h
0`hp40aF
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) e\9!y[Db
{7[$
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] _<2pm5
bJdG[\
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) Aj
&bZ Oq
nfL7lH<1y
cos3a=4cos³a-3cosa V'W;{M
e> }@kv
=4cosa(cos²a-3/4) yIO,Z}J$
n(%IC^oOO
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] >80!nmnh0.
wC&zOt@D_L
=4cosa(cos²a-cos²30°) =7-%.
Lg0_S%v
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) }q0 hs)^z
tg`suMWV
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} >)rhm;D.
2ojY=` Ch
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) H/qR
#b8
8dv%Rz1
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] RPl+,`Mg#
)hZN3O
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] pXxLP{:
mLc-YIB
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) O:o_Hydt
!w59=
上述两式相比可得 E.2sh=
LXtY8X
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 2DAID)E~D
0snaP,b-
半角公式 #6wYsJ
$
u dqi&
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); N}ZFHVD
etw>\"Q:*
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. *s#)#@
Q)7_$3M
和差化积 :<YZfYlE
!{"'"g
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] XH$<JD|
f@V3s<#P
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] O]YBBg="k
|W&n)(
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] FG3HKFPJX
D>XYX:a%\
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] [ktq%C448
6$ @ufxq
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 0 -'~97z
,)z# Ww
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) w,du:jv
ZFk{lC^2<
积化和差 Z6FwN}T
Gicp+elMU
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] .K5d;6]
x#7;
+7*
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] mfK]1
9g\ 0WA~EI
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] Fz&LXl_l
uv]YX5s
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] wrxt7g
j>x
3,,
诱导公式 @a}Kocf
q,A5A`So
sin(-α) = -sinα KL4"H>73f
@Z']IZs
cos(-α) = cosα q&djm)9QX-
$oKo(X)
sin(π/2-α) = cosα 2;9(vA,
u,E O31
cos(π/2-α) = sinα AUI_4!+GQ
iKuJQ|M
sin(π/2+α) = cosα {`"%cD28]
Qf3M|eR
cos(π/2+α) = -sinα #
hSTp
LEh3RBsu
sin(π-α) = sinα bo5`@$`
QgJJP
Rx?
cos(π-α) = -cosα D\5fp%NN)6
1]9|C%U&
sin(π+α) = -sinα !X}Y_n$5
"Bnik'<a
cos(π+α) = -cosα M|~#`5bVJ
] ?dL/t3
tanA= sinA/cosA uW<(O0 z
CH^Ar"_1Mu
tan(π/2+α)=-cotα S?B
/`@,pm
aU`jXz5Qg
tan(π/2-α)=cotα =zC Vax,b
8+H.9$Ou
tan(π-α)=-tanα So958>tl;
*l;m9\o
tan(π+α)=tanα {UJY1 oy4
;86nco1
万能公式 .$in7vin
<2%y'.
:&w5gnZ*
qp/-j*@3q
其它公式 *::lUtoW
ax%PSb/
(sinα)^2+(cosα)^2=1 #]xD_
b
@G^:A'g<
1+(tanα)^2=(secα)^2 "N}2tArMVu
}(-P=N2A`
1+(cotα)^2=(cscα)^2 e)DI+'
,@u@jK
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 R?v(3l \
1NA"\,38
对于任意非直角三角形,总有 Vov%m
M`44+_+gU
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC U+@0L+o
H^;>nf
证: 7QV|U D)
@c/|
%PS
A+B=π-C SI2 ;-
f YQ~pRFB-
tan(A+B)=tan(π-C) (_TzzgK&
PjI pvB
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) Cr^t7
`KO>OpL
整理可得 4W[@ZUWal
~ZufLf
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC >THU]G]I
yD=C&A
得证 6:<g9;};h
Vn (IN
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ",d[D-*g
=w y)sf$
其他非重点三角函数 ,'x5~\(kXv
Jl8=kRb.H
csc(a) = 1/sin(a) DZ[-vL9T
CZ%yH7"
sec(a) = 1/cos(a) }Hx9=
JekH)J1#
oC`R7O4?[
gwK/$c
双曲函数 +K\"#C
%Wc0
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 dEAC]d
)Zj\+'[0
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 g//ueQ7k
So:}Vn?r#
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ^j=O*K2
A^ %2nkl3
公式一: #)ay_M@{
$%
OXS!
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: Y\kPG1m
CdrB?Ps@f
sin(2kπ+α)= sinα D@a J-
#GPV3Y)
cos(2kπ+α)= cosα PjYjb%
PqK C^vD
tan(kπ+α)= tanα ;eIw_4 H
zH"(SZ CP
cot(kπ+α)= cotα _ptc%@^n
5Gag)TQr
公式二: ^h4^p0u9m
|#]Kn<G7
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: Jb&V;f
@GW^+9
sin(π+α)= -sinα 0TFS"5ub
'hBG+1i+
cos(π+α)= -cosα L~a5-2-L4
3O&}nU.
tan(π+α)= tanα u^CL*!#!
QyF
TDsB
cot(π+α)= cotα z#&0b S
f:|(^.lL
公式三: z3*Z##X>SJ
mx?>aJ;J
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: +$6_3;%
+zT7aRGt)
sin(-α)= -sinα <i%
$dKLx`fd
cos(-α)= cosα j0]>}!<
53u~+?
tan(-α)= -tanα b29~TT!a
R aAz|w@7
cot(-α)= -cotα ndm'Mh"
.<x<GE
公式四: V^_EW/Q8
G
6lW`y!@
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: T(G@=[Ng(b
vtf)RDe_@
sin(π-α)= sinα {-'AEgj
r={E "^-z
cos(π-α)= -cosα -=gHYp?y}.
U*PkdHG
tan(π-α)= -tanα b),u%Ay"
5&4hu~&9
cot(π-α)= -cotα G+r[K.1j$
'u5DoLg
公式五: ,8G5w
$r3F6Kg
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: hLN /R|M
(_[Uec]l
sin(2π-α)= -sinα F\<AOu7g
mOdCR@D!
cos(2π-α)= cosα h-c/^Dg
2/.VJ3cmC
tan(2π-α)= -tanα di"}~T`j
l,%2@Zt
cot(2π-α)= -cotα IO,O>[M%
5S,Ja{x)
公式六: 4
>-i?Z
Y-akNU$
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: ,iu:*u5 7
KV?)?Mtf:
sin(π/2+α)= cosα B]
\o
[^g.G.2
cos(π/2+α)= -sinα +135+JIU
K^?{11
tan(π/2+α)= -cotα MGg|PsM
n QM" %{
cot(π/2+α)= -tanα zB9>8Dh'
4DRu!8
sin(π/2-α)= cosα 0TpO|]]$6
?(-C7h\ x
cos(π/2-α)= sinα wtFGx<
q|)sphR
tan(π/2-α)= cotα 7?_G:Gc<
[u.95+|&
cot(π/2-α)= tanα Re5iX\V
o8-]&uf
sin(3π/2+α)= -cosα -Ku&kb
3
//.|xK
cos(3π/2+α)= sinα Gp~
9tzG
T3wMi&mT
tan(3π/2+α)= -cotα ,MyFPVs1.
kKQ@k@`
cot(3π/2+α)= -tanα ~o8:!-Q,.
Br&Q^mD
sin(3π/2-α)= -cosα xZX h[
\g
}X]3&!Z=V
cos(3π/2-α)= -sinα <LJN{`S
JSPnJCS
,
tan(3π/2-α)= cotα JO$o=|ZiZJ
b2~o`cFF>R
cot(3π/2-α)= tanα &{gE
tTuQGgjR
(以上k∈Z) =#4~;){JH
(.Y$Y *bo
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 l=]xR$\
i
fOVw
1_
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = a,'SqYKBN
<@'%<r4&
√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } oJ,anwy+!
^a@t~VNW
√表示根号,包括{……}中的内容

迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
|
一共有 0 条评论