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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 ^ BY5D'-o  
A%tT=jMn  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. %}KS rb?  
WJ@N>6*  
　　1、三角函数本质： *jZn{chS3  
NC7HiI  
　　三角函数的本质来源于定义 nw-Po-#&1x  
z&#Q[X,s  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 [aRPFN F  
=@LJU5  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 &[nmkyT5  
D-=`{e  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 'W ew1lHU  
w.S_z7V=J  
　　推导： 6A?GpTE  
UT0>{D5O  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 |aHnzl  
mdYSVCm@n  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) GPQH.t%hu  
Q wL oIR  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) c IvwIrQO  
fAZD {x  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 t]Jh{  
q' g<~pU  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） Ce :2 6  
X~x)s=  
　　[1] e<j\qKH:  
CbjaY$6  
　　两角和公式 Z1si\g;  
/UcTf3R  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB B=kvbrx  
pa|-X#5=M  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  *yAWE4|  
LoGjKi  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB l]eA Gr  
SdbrXTj  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ]y^Dg[jT  
Pw%K5fL%Q  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) i?LM[mC|  
B?|NPgi*  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) I$bY[n/Q0B  
D_VxAWc23r  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  ,v1]z!33  
?\q>iaNl  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 736 m4N#  
;6fMzd-  
倍角公式 >>d;!^m  
yW5 h6xX}  
　　Sin2A=2SinA•CosA |M%kll!~  
}i.L<d{c$  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 Fd7d^Hm!g  
"+z)V%:  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） G^rY6Gn 2'  
Nv]2X}E[  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） ?mwM9.;j  
rw\KLsJ  
三倍角公式 5+ $X< /  
3LkV/ {  
　　 A/,3~a/"n  
=afTs  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) a' n2"@  
_83!]MY^#  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) ucHe$80G  
l,laB-M3  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) dvxDL  
_Kn+Umy{  
三倍角公式推导 XX:a=qOS  
{:Iy4zp  
　　sin3a X&R!zUxk   
uTnk{O -  
　　=sin(2a+a) , #3&(#<B  
 s!* :]  
　　=sin2acosa+cos2asina 1AABzQ I  
r0 Sb 5h>  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ^-4 *N^ YY  
I>'vI  
　　=3sina-4sin³a _HFP{?G]  
g3sZ0r^s  
　　cos3a pvsvCFE  
Gqh,- Q>  
　　=cos(2a+a) y+rXi  
I7W0i  
　　=cos2acosa-sin2asina }o _u0  
#5H}f,S}k  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa M\Q^;r]6  
Shmx;~(N  
　　=4cos³a-3cosa b-zek;{P  
:iz(`\  
　　sin3a=3sina-4sin³a wo{krT>  
VC4Tu6t  
　　=4sina(3/4-sin²a) ?E,!$|L5B  
(#4DBB,q  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a]  BmJ=n1@  
t5 7!0@  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) qJ2T\1sM  
0j&kCd2K  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) ec;8:E:2  
=*EM*APn;  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] Sy'W_y.`  
3Dg<f$Ao  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 6{ke$hY[<  
\<O$9  
　　cos3a=4cos³a-3cosa +,w\h?uT  
(:9{ x Q3  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 9fT9c/j  
G!} +o "H  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] ;Xln+3pK5Q  
Y"?d\7Y)  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) Na@.vLW  
Iv^oF'  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 97[~@B  
.'.87$O@p  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} # n<h}H38  
]=5k%_  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) `CX&I1&<J  
 cfb \ C&  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ^ >[%a\e  
l %5[ g>v  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] U*q||SC8  
"f$\bI  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 74xZYzNsA  
Ohi\ \d  
　　上述两式相比可得 G^x]5 |W#_  
D3OOv=xC   
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) yMgZhA8C_{  
pzn4sS  
半角公式 ")VB "t2U  
P }bq 9Y  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); N6Sfj]Nsl  
Olb%O<h  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. eVn< 2:  
n<Z'2Q5nt  
和差化积 CpPNX-'0  
.iB3!9WpN  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] X`*hMN\GH  
c\!8JUc]J$  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 'O-|>V*1.  
i<O<w tg  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] <Im!52S2'  
:)]^WSPI  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] =}O<,3/  
*JCEz'&w  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) (/aUXrgMO  
%M -ryv  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) _hgo q-(]  
*8~d)n I/  
积化和差 /Kw3iW'4  
,a_E~  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] I{Wf 5&  
{H 7*?  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] WR  
Z QE8HM  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] i27&Ud<y6l  
AS;=&*  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] GsQw] Q  
PfDBrj=^YN  
诱导公式 ys=c f8T  
%6iNue  
　　sin(-α) = -sinα :K>@~OTz\  
` sMD  
　　cos(-α) = cosα J$\0v3  
`s[ b26R  
　　sin(π/2-α) = cosα XrE$4v&j  
sGFEvG  
　　cos(π/2-α) = sinα A| 3q%FV0  
GH]Af<h07  
　　sin(π/2+α) = cosα yTF6y?S  
UOCsZy  
　　cos(π/2+α) = -sinα *jp +8E<'<  
x 1;'x&  
　　sin(π-α) = sinα U,we0B8z  
zKrTq/%  
　　cos(π-α) = -cosα /&m"l0ivS  
cJQ|X=9  
　　sin(π+α) = -sinα L"E4;  
m#AI!["\  
　　cos(π+α) = -cosα tZ/qD;z  
oC gW[y  
　　tanA= sinA/cosA zuZCzIEUk  
~6vF Fv  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα Zxx}D:75  
Z"uZ&|$'8  
　　tan（π/2－α）＝cotα =cbed  
3d<o7n0L  
　　tan（π－α）＝－tanα eIFCze  
jd *PN{^W  
　　tan（π＋α）＝tanα oQ pK)5  
]V6;H)!<_  
万能公式 3R=RWF[  
^8&^mQ? C  
　　 =,   
;MU] X~)s  
其它公式 KI>pT1V!_  
AX VdZ3~i  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 *_1g*`>:  
)2tWdoz  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 #:ij9OA\  
h_8{vShI  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 A%SIu >  
%4neA<|  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 "md*E|Uy  
^Y ASJCK  
　　对于任意非直角三角形,总有 ~4OI8H  
xORx:Wv  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC M_6g=t)  
+l+J`Wd]  
　　证: p-'iG/1/  
ep_18B  
　　A+B=π-C go;GOA  
1roW1yi;  
　　tan(A+B)=tan(π-C) Q796|MRs  
5eMUgcw)  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)  0A*DVWQ  
&dn42*8&  
　　整理可得 qp^ q}i(  
4W/jA0IBt  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC  W"TNl%N)  
*u85pnwF]  
　　得证 3hI}Ht0  
k\A7HDbiq  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 7QRs LCL  
ARQY$,5&  
其他非重点三角函数 :hUAtx?G  
pE0d[a<5  
　　csc(a) = 1/sin(a) '.t_)dCtfc  
)oyj ]|>  
　　sec(a) = 1/cos(a) "f^~X5$`&  
0mQK\mA  
　　 ( \9 %q  
Kk-XP>P  
双曲函数 qjx]WZ|.uq  
)u 14^<  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 /47y*@ z  
?K [3'  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 [: {vP<#  
9} oB2h  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) e Db|M0e  
TJQSdOu q  
　　公式一： uKhnA8L b  
A/5]9  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： [E@V,c^  
zL5}K06<G  
　　sin（2kπ＋α）= sinα ]zE8vTs5p  
w`Sq_R  
　　cos（2kπ＋α）= cosα YeO w"4&  
uqrP 2Mw:Y  
　　tan（kπ＋α）= tanα aa@f/kZlz  
@|LB7Fxu C  
　　cot（kπ＋α）= cotα /6Z4W8-  
M;@;:/fc  
　　公式二： B=QT8Q{:  
&B;iI@"[{  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： /<48g +  
)LKz+${C  
　　sin（π＋α）= -sinα 94?0A5-P  
SAi\;XX2  
　　cos（π＋α）= -cosα O><gKrQd7  
>n>c35d",  
　　tan（π＋α）= tanα *!s&+hkB  
9VL   
　　cot（π＋α）= cotα v e!j`[@^  
(Le 'dQ"  
　　公式三： \}OS ` -w  
kjS)`Qk  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： qLVG?hd)Z  
65h.hP=3!  
　　sin（-α）= -sinα X'EZE~6M  
$$t#frH1:  
　　cos（-α）= cosα cloj~?T7v  
M@Rp\E#  
　　tan（-α）= -tanα m|W+rR!  
S{AxBrO  
　　cot（-α）= -cotα UuHa5WV*  
Y_R&\8m %  
　　公式四： kM~ sCA{  
%9R$!k 2  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： nkqWz W~  
S JQA wB  
　　sin（π-α）= sinα IjJ((  
eTL~TYl  
　　cos（π-α）= -cosα o.{n| \  
F6k |]y  
　　tan（π-α）= -tanα  4]ej  
#?3rVyPQ  
　　cot（π-α）= -cotα S\|o!o5n  
7xt"5<m  
　　公式五： /Ci sd  
+xXsjTr  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： bT2#]pX^  
2lH2u -=p  
　　sin（2π-α）= -sinα A5O3R^U]  
qm}X^m3  
　　cos（2π-α）= cosα Y7O31qY  
S# L*V=}$  
　　tan（2π-α）= -tanα i +b@1f  
a u,|\sZn  
　　cot（2π-α）= -cotα %DA]L #5,T  
njR9(KM  
　　公式六： y& gP fM  
kyjS8 &:  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： E ( gPV5[  
GFr}[l"Ja  
　　sin（π/2+α）= cosα L&YZ5sr&:O  
jxdX!7=  
　　cos（π/2+α）= -sinα e\Z}Kp&  
giza;3R2  
　　tan（π/2+α）= -cotα Il [iLp  
r'Zgu%UZ  
　　cot（π/2+α）= -tanα qZS[!8A  
]G Em_Y  
　　sin（π/2-α）= cosα <(BP8jn+  
nmkQ~LT<  
　　cos（π/2-α）= sinα 8!tMf6Ap+)  
RMlIf/O  
　　tan（π/2-α）= cotα ;:yt2"Dty  
]YB],H6~  
　　cot（π/2-α）= tanα @g9 r_^  
2N}C!o|M  
　　sin（3π/2+α）= -cosα G}#b.L3  
e;wQ)WAl  
　　cos（3π/2+α）= sinα QrL~X "  
f8I=Disp>  
　　tan（3π/2+α）= -cotα 0f_ -I  
1!iy|xz"  
　　cot（3π/2+α）= -tanα BVm Prh\,  
0eIGZ[b=  
　　sin（3π/2-α）= -cosα DA 4zHJHt  
fD@}eBh  
　　cos（3π/2-α）= -sinα eS IuJk>  
l ]S&Gk  
　　tan（3π/2-α）= cotα 0W)qR#_  
jsP+)aOk  
　　cot（3π/2-α）= tanα )Rr%ot  
Di:2*[3Vub  
　　(以上k∈Z) a#{2v#  
. Ee\Mzk  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用  u 'IZ[  
C8!St6dDe0  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = OfEKGb|  
~G<Yew<O  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } -P~Br  
47~ RY ~  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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