三角函数内容规律 7wt> D:MS3
t[`|cA
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. "w|nkI
% tp;'r
1、三角函数本质: H @]Ww
0/!IPxh
三角函数的本质来源于定义 UWKwmt*5}
+8l.7mM,w
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 xCR~HeykW
ujVT^gt
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 :(;k'<xx
crh *D
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: K7NPe:4
E+
推导: p]!N,au
dH(i)3_
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 4/O9O7gf
+/xT*{|X
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β))
kDgTT
MvaX@F!:z
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) =7/5b;D
0L7Fh
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 T&+Xl@
XSgVFs*wDz
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) n
dwx-CtRJ
;. Ruqy70
[1] 29Ah;r4q
.=`ap*
两角和公式 YnP1T
k]'U ya
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB m^zR3/5U^
'e8om9y
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB b 3?
|k_
y0,T0"yB
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB "k3Mz]c5Zl
8I-ZbYQE
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 4Y5oQ>(2
|JZSV
E,T
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) L\{Waf=6D
'&|]8h3
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 72UyMyeb
AMo$y;|
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) C04ij@V9z
`5br+
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) `IY}x|N6
X7l mYl '
倍角公式 9
EnIY{<q
y/~_o
|
Sin2A=2SinA•CosA -QRd*ZsS{9
Q\,P?tc
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 o%Vg)E,
B/XI/)SD
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) ~>ELO~P
'Pj-GPz
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) kGB;v{
.
WQ1.8)M:
三倍角公式 FY"VKB~B
Z -d2oe}y
GhA>Cg8W9b
v3j90
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) q&o:}B|Z
6.GWO%kWg
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) MOzF
T%=2Jr
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ufK\&$wC
[FB[8uiq
三倍角公式推导 n%4I%4Y
nQ6|y#
sin3a :@,MkqI
ph@c*M>"|
=sin(2a+a) r&wDWH
K;G?>P
il
=sin2acosa+cos2asina ?/-i}^\
,u]XXn
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ,`sd%M
<Boj= y=
=3sina-4sin³a <2U~Mh *
ufXb9+}Fw
cos3a H&Tq1G-_3
=HQ|sY.1
=cos(2a+a) mfMs88S
bfU @~@
=cos2acosa-sin2asina |vAD%vBH
EXW@$M+wBD
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa T:t@@PM
<1:{1$
=4cos³a-3cosa <gZS.'
)
RA=9jC6
sin3a=3sina-4sin³a hxT%pVmk
@S*ok
=4sina(3/4-sin²a) r0cCw:k*
q6Z~s#$Pr
=4sina[(√3/2)²-sin²a] >r[}*'L
1Bl9
^e\
=4sina(sin²60°-sin²a) vMD/+v
3r^n
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) @[PDGV5
*w9A.bF
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] `XYFiNV
oE$L#?CQ
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) @$<KQcfJ;
{*`h&d/s
cos3a=4cos³a-3cosa lKZ}su{W
C'-T!IL
=4cosa(cos²a-3/4) uSw`,Mr
vC.;S-X-M\
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] ZI<:-/;m!:
1_Lw%$A
=4cosa(cos²a-cos²30°) =Ncd;Q
QCT
`h |
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) bHt:
`o7
t^Xj0E
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} DPJa,,G&
.]PQXePP
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) V"J[g*
7u
jE]P WW!
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] }fgD
%M@
dn>4/#'d
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] ` zU? Xz
=N=
Ef2
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) Ee*l,Pn
:[Z Iwx0y
上述两式相比可得 ;b
tIp/
^(k
m<2iw=
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 3:A
&QqX8o"
半角公式 3\R'$oi6G
|;9
qqwzBB
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); q=#Bg
l"'&"Rnv
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. >;j UnK"9s
+'9D$SIC6%
和差化积 +|>3!9x
1?A{9HQ
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 6uQMX3i k
GX
duE
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ^;Mjf
K5Ne*^q
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ZW0< cTB
BVCf='kWK
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] I#dc9XxL
mkcSL}'e
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) nu:>D)( .u
<)g
.qD
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) W F&K?k
n4V5-zmZP
积化和差 {qU6kYl@x
VmPp&cw0
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] m.d \J'
[QVCU
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] !UT$,:?HP
Y_|=?-?@'H
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] UkcJ=W9V_(
Hc41omAe;
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] G?e?1;
-"U=tteo;
诱导公式 PG:j[l
0,_=UC&d
sin(-α) = -sinα kAua2LZu
T70t-Xi:U
cos(-α) = cosα (l5,6^-
q b9)x
sin(π/2-α) = cosα q+F!aM
%n
OQ9^A2p' `
cos(π/2-α) = sinα *7JFma+g>
)_RZyot
sin(π/2+α) = cosα Lo>5+\X5-
8dsms_)
cos(π/2+α) = -sinα 0
:&
B7eA3f`
sin(π-α) = sinα E9b__mVGx
M fXfI
cos(π-α) = -cosα m't@a3s
oy
k
!$
sin(π+α) = -sinα cTgj4e6U
)P1DbX\/
W
cos(π+α) = -cosα mbxjy[E[
2m8;z1
tanA= sinA/cosA "Y\K{^'(1
%aqlI&<q
tan(π/2+α)=-cotα weU*K~Q
,#ERs4!
tan(π/2-α)=cotα @"@ aL#
|[bh\84
tan(π-α)=-tanα &%Y}%)(yza
[ON@fF;&4
tan(π+α)=tanα H,0=(uh
rTF^6Fbw@
万能公式 p ,'*?
#"bK%[F=
6MkDAcr
,-gf"v=g
其它公式 LR"e$]tD
Ot7*})O
(sinα)^2+(cosα)^2=1 MYf=I7q#
CX.\y9\"I!
1+(tanα)^2=(secα)^2 :.b-C$!
>KXNPl.Y
1+(cotα)^2=(cscα)^2 f@d.
4f z
u Yq[v2C
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ,Zd
p7A
|8+0
/|
对于任意非直角三角形,总有 P,YqWPt
ciW2c|N
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ub?)| e@
BXjUd:T P
证: 4n7wd.j(
&JDLg
A+B=π-C T1 Ih\
@C;WzCw
tan(A+B)=tan(π-C) 0OOs&q
&qI}}L?a
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) TwZ 68
vl
#U~J]{a
整理可得 ZQI7 $S$
1<0p4=R
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC .%.h4~c`0
bgvt<?w
得证 90m2U6X
pvmd_'
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 V,Nr:Oh
_h%80D
其他非重点三角函数 U(>N2q}
n&M^8 Up:(
csc(a) = 1/sin(a) iBND1d
6.rr3:
sec(a) = 1/cos(a) %9OL7oaw
dbE
v+
?pn,+0^q T
;/C8n
双曲函数 0+;lyW
M[!oNlI%t
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 s(fT@<gR
&}"IWw\?
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 Ao~mJ
A
l(Q$g9N-
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a)
%
yL<C74
mqW3q^@
公式一: mDsLs/B2
xLm-c
\2
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: j~`>n{Y
`|4&Dz
sin(2kπ+α)= sinα %
?G,-G
[jA#$/
cos(2kπ+α)= cosα y.&h[yB?
0[
^w03_
tan(kπ+α)= tanα /![t7%=
/%+
gl-Z
cot(kπ+α)= cotα ^-[svOL@<w
$N#6q
公式二: 78o]ll>b
4}MJb4a
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: jhxH L_&
_t wE-+_^
sin(π+α)= -sinα zUYbQ7zFh
UiNhNZ
cos(π+α)= -cosα ~-_+3kPAR
?M-k~}`z
tan(π+α)= tanα ?bWFyE 7
yU_xy_#m
cot(π+α)= cotα z=Bs-P
7[v` B6(
公式三: z<w'` E`
bm=l`]o
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: zm~D`E7S:
O%}hy"Q
sin(-α)= -sinα M3)EZPO*
+<PNrUf
cos(-α)= cosα Lm%>2H
5dm3.^
tan(-α)= -tanα ut_Bcil4{6
O~(P2=x7.
cot(-α)= -cotα D~T)Np1`
)8k4vR]
公式四: sr)mM
YR<)KQ1
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: ^ (/ C
5N)A<D0@r
sin(π-α)= sinα iTJ1-m"
mP8b:x
cos(π-α)= -cosα V=lv\=
4di8@+ 8
tan(π-α)= -tanα 5Ngq;]S=
H_fg|:l
cot(π-α)= -cotα R:3YHQ|
9>6-Es7
公式五: aU O9
(3qy7Hz
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: zX&OdUB`
Dw?E?\V P
sin(2π-α)= -sinα "!qA( jk#
`me1*9!vy
cos(2π-α)= cosα 'i
3&X99$
E5Nz @5enR
tan(2π-α)= -tanα RaQJ\4+>h
#XK,qH_^`
cot(2π-α)= -cotα Y01JXG8
D;S>o.l5
公式六: F^7>xK
v`Z]7 N
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: vnA@j( ^
wxDDpa$W(
sin(π/2+α)= cosα :"@]"TZCi
8Fj|}nn
cos(π/2+α)= -sinα A>|gA/
RG
l9eGxQ-
tan(π/2+α)= -cotα :
_"
g~E
TV90W{)U
cot(π/2+α)= -tanα YSJ8eAd*
SB!Y8lI#
sin(π/2-α)= cosα -~\HDr
E"DmWWP
cos(π/2-α)= sinα \85BA*}"
eP@n]J~83
tan(π/2-α)= cotα WRar5v1
wan+zu
cot(π/2-α)= tanα 5'tpW@)
Vmc7Qqb
sin(3π/2+α)= -cosα }g`3\zz
_{Y*$PQd
cos(3π/2+α)= sinα "@NSdDSsY
15QWl:!0i
tan(3π/2+α)= -cotα GHq
SN^t
NIhFMi.-
cot(3π/2+α)= -tanα ScH =62w
"IR>_Pra_
sin(3π/2-α)= -cosα gN
ZGiK7
[NP#4L<x`P
cos(3π/2-α)= -sinα Lo
8%LlS
lbwJGk]*
tan(3π/2-α)= cotα (1r'q~0h-
\~,6oIp~{
cot(3π/2-α)= tanα v<2@ v|:y
tncws8F-
(以上k∈Z) wJcA6She
!*-YI}>_K
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 X-3'0-Rd
Es~8l"<G8
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = Jvj_g6n)-
Te&|i]>
√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } K}`+*c#
2O9N*>"e
√表示根号,包括{……}中的内容

迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
|
一共有 0 条评论