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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 34xDd{WnZ  
W%K6|!#  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. GnAG!N|j  
n= uP$#@d  
　　1、三角函数本质： t+Kr@(|S  
J4+n%%(u]  
　　三角函数的本质来源于定义 {z@~E)|  
?u`a5z0'e  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 gj;X+js\Jb  
2xHP"-n  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 j1\}]%  
$xst. jn  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： u+{>$ DS6?  
sg4#eq  
　　推导： bS/%1{$pn  
DM>`C]t  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 M}GGWN  
l ]Uv?C9  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) pq>S'  
11^[6[  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) sj7/*K[  
_ Y?ccIT  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 #a<B/ 6Q  
&Mg|XC  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） >>syP/zi  
Q 8cvJ  
　　[1] b%{}z2  
$1gEc8.$  
　　两角和公式 DC \jH  
E";^IP6  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 9Zn_aOUEi  
D? 9-z+  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  D9pF\cZ[  
$Pb3=~H5=`  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB aomd[oQ%;  
bFn&_$^=  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB z~/X1O@zy  
3#?v pg  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) |s{f7B.&  
lx>I q *  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) |W*.3-^  
XEcb    
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  w cT/jn  
u7Jy[[m  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) --yFID;7q  
,C ^<  
倍角公式 ed#4" %1  
PgXYs%6/  
　　Sin2A=2SinA•CosA zf|Vz  
/Evix `{  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 b)SnMy  
U&v6a" o1g  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） . dv*ky+\  
H)W!V{!|  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） t9V$M"  
&07ai  
三倍角公式 oiBt@ eJfL  
yh~Fm+  
　　 !7!sx4UX  
!x*hg}  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cYic#.??/  
F3># 3D  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) A P^hiU^  
VgcN by  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) "87{TU  
G:fVr1*9)l  
三倍角公式推导 `eosk[rN  
-]w{nMk[  
　　sin3a ~a#nnfD  
4OjW n4  
　　=sin(2a+a) MyCZ <D1  
a"aPo}t  
　　=sin2acosa+cos2asina 74dWnk  
9*]2  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =P,kG%J{  
]mc.|#7%=  
　　=3sina-4sin³a Y_"d(5/  
VgPu53tj.B  
　　cos3a YRZ&uAr"P  
5uG"S?bP  
　　=cos(2a+a) Scr4B}Z-  
EA -3y=  
　　=cos2acosa-sin2asina P+|fHw!F*  
WJrw{K0W  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa fvR7PPMV  
jl<FV"d  
　　=4cos³a-3cosa wP>46 t  
B{Q@az}3  
　　sin3a=3sina-4sin³a 07Q"Xw~  
'qg~QZ  
　　=4sina(3/4-sin²a) >r\ecUo~  
\fKKAVn~}  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] >a8k?"bX  
NBp}`h}  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) $wwg^ ri  
z@a5/)lT  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) M*G !6_8Z  
mCbsd8  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ]AwkIH,_  
p)4_~3  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) O`sKh6  
-qS* Gp2?  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 9lyy~9F=  
{Nfh7zZPp}  
　　=4cosa(cos²a-3/4) |3SHeo88  
dPI' Dk$  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] Y p [l  
=;1Kg)B  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) rn`*n(   
vZS-+  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) "n`' aB  
{A-r4 i}  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} \9# f\ndk3  
B =_0m *u0  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) nA@x-#x  
'3 a!Ia  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] !5Aw\C760  
x~zVH&&ak?  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] MPks4 y  
rOPc- (  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) s:yd3!0i  
e2#ag26g4  
　　上述两式相比可得 duxt19M  
n r&Bk]yk  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) t:4 w >  
xfzd/?T  
半角公式 PahZ.0kki  
I8G3c;B6  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); _$fW'[ft  
>;0PZ~=  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. ni\ EO%K  
wvl s  
和差化积 &|Uw|0v  
>@?]Zr287  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 3XT3^[C  
rbCS jb3  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] m`(X$0T4  
abH!8xbQB  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] TInj%&<Mz  
JbL@?kf=Xs  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] >^#tZlD  
3?FhHz/  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) <LNq D?}  
R3A62j  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) .pBkUR4Gh  
>U.4;4w  
积化和差 (ya %bG{  
Jw1T`T  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ,6s&Wl?+d  
3TW9*rM:I  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] z=3FMK7:  
vJG^I]=?E=  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] {[x/.75#  
g"/70'Vx  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 3IZs`2~  
/gZ|Y%  
诱导公式 v^.W:H_ "  
?8%XF@r7)  
　　sin(-α) = -sinα y.{?uDw4  
YsmG-x6q  
　　cos(-α) = cosα lz7i) <s  
M&{r3 JU  
　　sin(π/2-α) = cosα C:&|E>\R]  
f}^P2Z$J  
　　cos(π/2-α) = sinα hw#wBNfrtW  
CQ=39??#.  
　　sin(π/2+α) = cosα U|]mBq,$A  
w3xcj]f2S  
　　cos(π/2+α) = -sinα AKBS*ttzn|  
4 uB{c]  
　　sin(π-α) = sinα x3CP=b  
kx-'%a$.  
　　cos(π-α) = -cosα o^OZ@6  
(^91b==  
　　sin(π+α) = -sinα :$RVWntFU1  
6TT(7;#.  
　　cos(π+α) = -cosα qm/=-~  
D2$=m?<  
　　tanA= sinA/cosA '0c[3JgDz  
8N }aOa(  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα SG^tH_ *B  
}Eg\hs  
　　tan（π/2－α）＝cotα I:6H7  
` u$V{0ctQ  
　　tan（π－α）＝－tanα qWL!+,&<7)  
p`?HKtX  
　　tan（π＋α）＝tanα j<3>(  
'nLF w0sQk  
万能公式 6x0gE?[  
!j>gVQC   
　　 - ;]XhqX2;  
>k6 cJp  
其它公式 7rrcv`  
fl cH  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 s3ZyX0} ;  
/,M5wPk/}  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 `gGL#lh{  
zpT@iK  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 ? @?@{}6B{  
5i1Y|+L6?]  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 qo|N> g  
vl]HV:Z$  
　　对于任意非直角三角形,总有 Z =<^*Jzk  
#kcV9k  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC %R_wtYS  
l2[_ ^  
　　证: Dl )jMn G  
BTbz*. y*  
　　A+B=π-C O;oPs$G&6  
rJ;Y6  
　　tan(A+B)=tan(π-C) b\1rVhQ,)  
[0"*vW|t7  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) F^&IJUt*  
x<{dlF  
　　整理可得 9' co  
B9>]8tI  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC jiCcT`J2mh  
H?{=oDwVr  
　　得证 [u ^w WE/  
Ei{mqwbtY  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 g@v|!  
;fLoR=  
其他非重点三角函数 H0@ Q<wxt;  
H/$uHod  
　　csc(a) = 1/sin(a) a7A7!) h  
`s}-8Vg71  
　　sec(a) = 1/cos(a) D@pFv   
zy>y6z`1N  
　　 U QvK_JT  
t8 j\ a~  
双曲函数 vwD&3~xh  
{DzT+f9b#  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 Krp}] Ye  
q52H)N(%  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 0h*Z;u]]  
(Om<+R"9  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) P:>#C2z $  
Ie0'W^oGc  
　　公式一： GXOx64  
ew{M.\/p  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： Re`PMoB4X  
y_>^^=*=  
　　sin（2kπ＋α）= sinα ~Y,bG!cC?  
W&DE#ogX'  
　　cos（2kπ＋α）= cosα e.}-G`?Z  
,S<o= =ZC  
　　tan（kπ＋α）= tanα HrSjse   
ly$$>~  
　　cot（kπ＋α）= cotα GExW/*"  
aMaV# Sw  
　　公式二： U$j` $"fz$  
T{B9/IzX  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： & hMm}+gc$  
Tw `@A?[  
　　sin（π＋α）= -sinα SZBKR@]`  
&(2B?B  
　　cos（π＋α）= -cosα AEXnp. 5  
L(i`z(  
　　tan（π＋α）= tanα y R9ix  
@p7GssKO(G  
　　cot（π＋α）= cotα qZx8/K  
$, ]N4\&B  
　　公式三： ew)m]V  
/-N7% VQ   
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： |H#<7SNK0  
:[O@tc  
　　sin（-α）= -sinα 7WDqF1$  
(+hCTR6 =w  
　　cos（-α）= cosα N![=u)KsC  
(o,`!3oW  
　　tan（-α）= -tanα vI ; (7Q:0  
OIF m  
　　cot（-α）= -cotα z^.I(<?xG  
)&>A,Cr@3  
　　公式四： \|*^q]]  
In+CGFa  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： .YBX qi=  
>8dJG$5  
　　sin（π-α）= sinα st,<S}s;Gq  
<-$J6J  
　　cos（π-α）= -cosα )nGlg>&p:  
@=4y @f #  
　　tan（π-α）= -tanα `"d AI&*x  
Kq .]i  
　　cot（π-α）= -cotα q4tI"!q5  
X.FxgGScH  
　　公式五： &' A?gn{  
y<2h/)qM5  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： f)+6OI  
=N3V _uVQy  
　　sin（2π-α）= -sinα {hx*I\  
ARL0+Y3hT  
　　cos（2π-α）= cosα !.9#X=$  
jh(F; t "  
　　tan（2π-α）= -tanα vg^]N:l;  
uend*%Im!7  
　　cot（2π-α）= -cotα j2`x J*i  
.fV_P'e  
　　公式六： Tj$\*YR  
w!"':D`  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： #_XN{zQ$  
Gw(5EfcqM  
　　sin（π/2+α）= cosα j#.9` Y,  
iF@[S{h?t  
　　cos（π/2+α）= -sinα !*4O'T0{d  
V'j"\Yb7  
　　tan（π/2+α）= -cotα UAL`<  
Z(VE|]W  
　　cot（π/2+α）= -tanα Z0=rmC  
1TP.)z/j  
　　sin（π/2-α）= cosα 6i5h`@ t  
4tNHQ!  
　　cos（π/2-α）= sinα $o`a=Fr  
4{g/y7  
　　tan（π/2-α）= cotα Kd9Qg<lX[  
6y:p5rD(  
　　cot（π/2-α）= tanα ]tj?5|Y  
P Z-f w  
　　sin（3π/2+α）= -cosα %ptR&  
rg{!c)Q  
　　cos（3π/2+α）= sinα ;$e@9W/*A  
p6o"q,0Z2  
　　tan（3π/2+α）= -cotα M1":itW`   
oN3n~b~9  
　　cot（3π/2+α）= -tanα "vH:nhq:  
>"L b)Pk  
　　sin（3π/2-α）= -cosα (/`}V&"#  
%4;b 7KMG  
　　cos（3π/2-α）= -sinα OT_yBdXZ  
N0 g&f  
　　tan（3π/2-α）= cotα .JdV\5d*r  
Mh @4Rn  
　　cot（3π/2-α）= tanα e<kx.y?Q  
g@}9E E  
　　(以上k∈Z) |w| iAWhn\  
CynEQa,w  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用  (),w%  
5p.7q24]  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = ]~fNXg%  
.$ 3V5gm  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } m`-!+ \: &  
b.)0PUN}Y  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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