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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 "}pE7%Va  
H$FJ-  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. _PEix 2{  
c*J 7TW  
　　1、三角函数本质： MN@6 :(  
Te1^BeK.  
　　三角函数的本质来源于定义 rDUzl?5++  
&5s=$#\  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 6-f|4q5Y  
'd\,YjE1  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 A60rUAdx:b  
?xy(~?  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 8<AiCc&  
I?d  
　　推导： )wq:'rL"  
MN&>V>Qf  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 B.CcTN^wY  
*? PS(*rA  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) MBV~ AEol  
k3R;3cTa  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) =>} 6 "  
w :Nv  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 <RGaxl  
e(6vo=3  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） N+V0Aa -R  
=T_zRbJt]t  
　　[1]  ^S$B5  
eqFf8Oh  
　　两角和公式 S<Zr2J-g6k  
|GgdJs2\h  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB cK%o5$"W,A  
K=: r]`  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  jkj}73mr)  
IFs\98  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ^|YwBV  
=hq's|GW!)  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB _LjcAU:*:  
u|Tw4l@T  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) p~nk)w=l  
R S 5](XQ  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) @r|/HI"U'  
Ri4BlK0  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  wo)^9Yh'  
A jR"=&y-  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) *Nqi6&q  
kXA6Fw  
倍角公式 Jv%iI q  
|A>~EJ2a  
　　Sin2A=2SinA•CosA P =1/D:\C  
Ee!{[t^R  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 WAa3A6 1  
eJ5 )\[K  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） :Ta YBh*DH  
A[} U  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） E{um1V$b  
LQi]%:+cm  
三倍角公式 h4^Gw^>~@  
03Gr;W4gU  
　　 7"{&f}  
`1$-C%2?l  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) e]==`aq  
{z>IMcOl  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) b Gx^ z\'  
&@<jrV`#b  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ~Rmc'`u(F  
h?7Hc Q  
三倍角公式推导 \ }d\iEdc)  
_hWp#pRJ9  
　　sin3a i@s[Ffo  
~ IPO'nuq  
　　=sin(2a+a) v[>:u6k%;  
P&Be*_C3  
　　=sin2acosa+cos2asina *P3x2kdbL  
p {F  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina $,U$>  
-X.=o82Q  
　　=3sina-4sin³a sM Gs c  
g:"y[  
　　cos3a hy),H]Se  
>/n;uzN%7.  
　　=cos(2a+a) ;\jin0IKp  
}q #"R8e  
　　=cos2acosa-sin2asina lZ\BSpDN  
F9ent/#Byz  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa ~g} nS H  
Xv{K~w:  
　　=4cos³a-3cosa (hZ}|YRe)  
OF9Gdg[/  
　　sin3a=3sina-4sin³a z?`_!8'S  
qIC-{  
　　=4sina(3/4-sin²a) 4| zp.\  
)w7X]Ha  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] ]RfbXN5%  
,b}@7N1  
　　=4sina(sin²60°-sin²a)  />z<&  
S5<wd\v[  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) CG] S&3sF&  
*(P?;<W  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] F@]gH3)  
w 9Y~mR]  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ^"xJM1s8  
@y7nRa\  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 8o7YCG"  
rd(nAMbo  
　　=4cosa(cos²a-3/4) <r!}i~{  
xyE"Sz6R  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] m>s"QT^g  
QOH/a@_l  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) y@d>takrL  
$AR `G* s  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 28``U '>A  
B*42IY _  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} A%AI>H2  
a27VSxy   
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) SP9J[vH&  
x%-'2 |  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ?h& 5X  
imkQO+  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] [.,TWW~o  
{q.$8[q+  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) )9Mu":/D  
^mm5]50:2p  
　　上述两式相比可得 w/,gK`Z?x  
8@MMjJ!hQ  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)  3PHd ;M  
fn# g Pkl  
半角公式 QDo` 'Z  
x/>!y8|  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); xX#d<&F2  
ujvKQ  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. o ;~pF.  
he5B *PKv  
和差化积 ]/7("< x  
`wkHiBR  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ~oenG"T[Ai  
L81S=_+  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] yw'O7  
(PUcUNr.K  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] k&I&558]  
spxE-)eXi  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] H9{#<TG  
~0]1W%|}  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) gG#jt!G>  
!g-K8  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) C n2-<  
8*+o|51UWT  
积化和差 z/zT}'6  
fU,< 9a[s  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 5$Ot5vSf  
nLN%>;'x{  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] Y#F!H^~F4  
NMI7w w#  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] )$ <~+,F  
?oo~7 X/  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] _^+Vr&h(f  
/mFena>_.  
诱导公式 ^|H*Iox  
_jR(nZU  
　　sin(-α) = -sinα Y. *s;_  
i? !@[3~  
　　cos(-α) = cosα uo,C2  
J4td#(3}  
　　sin(π/2-α) = cosα &0SWN+z  
OV2`/"mu  
　　cos(π/2-α) = sinα 1#Wc}8)  
rx%PBwGagi  
　　sin(π/2+α) = cosα D+ ]Kb4  
su<xV*  
　　cos(π/2+α) = -sinα d)A;DyAo  
k& X $ 6a  
　　sin(π-α) = sinα \@$e#I  
O*eBS)!Q  
　　cos(π-α) = -cosα tvrHC}L  
@a>)/  
　　sin(π+α) = -sinα a2Pgz\%^2  
4:< SS8  
　　cos(π+α) = -cosα 01l$ YT  
y1!?|[P r  
　　tanA= sinA/cosA ~/yl_JY/\  
)hjq8=  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα #K2;)N;gt  
gy-$tL  
　　tan（π/2－α）＝cotα By0quv|}-  
M5HRKd]  
　　tan（π－α）＝－tanα g 1!%T>y  
c~ac&jV+  
　　tan（π＋α）＝tanα Uy >^vWmC  
hgX}al%(5E  
万能公式 q#_={1*  
mh%0XuK  
　　 9)d1m/q  
4&47zMg]*2  
其它公式 8$_x3<<  
+ iJdu  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 *s*w3lC?Ht  
GbCms9%  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 kf>>#KK  
Wd{ A4um  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 yvWOL1mF.  
KfF>{'QUc  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 4$ ZZ>m2  
,&<yud q  
　　对于任意非直角三角形,总有 SuHnbs%  
~#m(/yO  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC W+;p)b_G%  
I9dnMbUc  
　　证: wy'a~v>Ue  
to$SO#k  
　　A+B=π-C Ut2A0 TqO  
!J8u  
　　tan(A+B)=tan(π-C) g) >0A0  
k/ZxqBSjt  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) T7CjA'd`  
W![8p2.u  
　　整理可得 FWp%Rb  
pr+F[ @s  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC l!X-(r  
/>S<XoCP`  
　　得证 :|5Po0M -  
5F"$o7s4+  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 BY6[f}9C  
V:cf\eH"  
其他非重点三角函数 yY*:9OS   
fdcf->5OE?  
　　csc(a) = 1/sin(a) $m4qgl   
A<(8v&^&  
　　sec(a) = 1/cos(a) 2R2%(dw  
&UJO_XmKx  
　　 X|sIx[~<8  
/Ti(b  
双曲函数 k!@C/riq?  
{PL}HO3  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 [w5X R}1  
D'!`M8rb  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 s 6<\()l  
"<u DSI  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) $Y)Jm&V  
LH I.i ;  
　　公式一： %+wJ4VQ*  
Qr|Zt-~C  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： ).fu}KNA  
@&-+_Ak*z)  
　　sin（2kπ＋α）= sinα ;9 brEY*m  
WMa\6F= B  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 5)S1r*eD  
.IV/ WvOL  
　　tan（kπ＋α）= tanα qG~^* h  
9|[lHa+;  
　　cot（kπ＋α）= cotα ob,{j9aCv5  
|5fH_f f  
　　公式二： wgvV7OS{0  
NX}hdyW<  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：  ';"|Fm  
uDs _jN  
　　sin（π＋α）= -sinα OhC]DK  
;<'<qk x  
　　cos（π＋α）= -cosα BnVU@4SM  
R&eW_#Q  
　　tan（π＋α）= tanα Jw$2=sG  
N*%`Fa  
　　cot（π＋α）= cotα T[eLdgiy  
|mgEkAcmZ  
　　公式三： <q0Y^O^  
YG#!wH6Ob?  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： Y !I#ct0yK  
RuajS3X  
　　sin（-α）= -sinα |pG E/ _$  
(q mOM,I   
　　cos（-α）= cosα aS{t*) $  
&)z '?v0  
　　tan（-α）= -tanα C!~8]O}  
S[xdd {  
　　cot（-α）= -cotα i+uHs9Da  
!AT%i^)N  
　　公式四： 3q9(> Tt  
X#4,<~  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： =$ mMuzV  
B4&p,_d  
　　sin（π-α）= sinα [j6TA0k  
7p<b#4'  
　　cos（π-α）= -cosα _!^Si<,K}  
+ym!JFF6H  
　　tan（π-α）= -tanα dD<{2h.O  
9yhJMog;M  
　　cot（π-α）= -cotα *lEM'#:"n  
R &6:O'b  
　　公式五： jR .9P t  
n~OM' H  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： EHtm-  
r&X x.N&.  
　　sin（2π-α）= -sinα Zz$#/3BR'  
.x.G)Yk0N@  
　　cos（2π-α）= cosα \I<`0O  
/pjt's(@  
　　tan（2π-α）= -tanα :-&x!  
.cLpecc!.  
　　cot（2π-α）= -cotα 7H3sCih  
\'2KwC  
　　公式六： F\ Y"}04  
sF |:)PY  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： qICpj7!H  
<8hruOp  
　　sin（π/2+α）= cosα {K_&~Mq9  
{%wu/'O6&  
　　cos（π/2+α）= -sinα *]qk8|F*  
Dj]wDY&   
　　tan（π/2+α）= -cotα K^%K~{n}  
~idGYkaU(1  
　　cot（π/2+α）= -tanα *PU4V,E  
djJ7fC  
　　sin（π/2-α）= cosα ZseK TO  
3 2I*;W  
　　cos（π/2-α）= sinα )Z8l,*?O  
@"NkPw  
　　tan（π/2-α）= cotα da?M(*e  
I{sIO/FJ8  
　　cot（π/2-α）= tanα ]T]ewoV"  
^.Rf\Zm5g  
　　sin（3π/2+α）= -cosα Xo'<  
{.X` N'*  
　　cos（3π/2+α）= sinα ]|zT}*e:C  
{m`Cz^+  
　　tan（3π/2+α）= -cotα ^0W=8v2#  
x>Y]5%Fp  
　　cot（3π/2+α）= -tanα }Ljs8a  
O'3[Pq x  
　　sin（3π/2-α）= -cosα L :-+hD  
yz~NhMN&  
　　cos（3π/2-α）= -sinα ?+@LdbgTk  
c =T6Yq}K  
　　tan（3π/2-α）= cotα f.t*-^1C  
p 2GXJ:A  
　　cot（3π/2-α）= tanα 1:2O=gq  
^d`2"RQ  
　　(以上k∈Z) j)VzsD]  
-oz4]luc  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 g!jjt#Pf  
M]tj2Z Y  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = V-itL 81e  
'e2a9]UP  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } xt\d'KVmQ  
tx5}E;Y  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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