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日志文章


2009-09-04

  三角函数

三角函数内容规律 7wt> D:MS3  
t[`|cA  
  三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. "w|nkI  
% tp;'r  
  1、三角函数本质: H@] Ww  
0/!IPxh  
  三角函数的本质来源于定义 UWKwmt*5}  
+8l.7mM,w  
  sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 xCR~HeykW  
ujVT^gt  
  深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 :(;k'<xx  
crh*D  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: K7NPe:4  
 E+  
  推导: p]!N,au  
dH(i) 3_  
  首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 4/O9O7gf  
+/xT*{|X  
  A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β))  kDgTT  
MvaX@F!:z  
  OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) = 7/5b;D  
0L7Fh  
  ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 T&+Xl@  
XSgVFs*wDz  
  和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) n dwx-CtRJ  
;. Ruqy70  
  [1] 29Ah;r4q  
.=`ap*  
  两角和公式 YnP1T  
k ]'U ya  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB m^zR3/5U^  
'e8om9y  
  sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  b3? |k_  
y0,T0"yB  
  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB "k3Mz]c5Zl  
8I-ZbYQE  
  cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 4Y5oQ>(2  
|JZ SV E,T  
  tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) L\{Waf=6D  
'&|]8h3  
  tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 72UyMyeb  
AMo$y;|  
  cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  C04ij@V9z  
`5br+  
  cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) `IY}x|N6  
X7lmYl '  
倍角公式 9 EnIY{<q  
y/~_o |  
  Sin2A=2SinA•CosA -QRd*ZsS{9  
Q\,P?tc  
  Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 o%Vg)E,  
B/XI/)SD  
  tan2A=2tanA/(1-tanA^2) ~>ELO~P  
'Pj-GPz  
  (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) kGB;v{ .  
WQ1.8) M:  
三倍角公式 FY"VK B~B  
Z-d2oe}y  
   GhA>Cg8W9b  
v3j90   
  sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) q&o:}B |Z  
6.GWO%kWg  
  cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) MOz F  
T%=2Jr  
  tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ufK\&$wC  
 [FB[8uiq  
三倍角公式推导 n%4I%4Y  
nQ6|y#  
  sin3a :@,MkqI  
ph@c*M>"|  
  =sin(2a+a) r&wDWH   
K;G?>P il  
  =sin2acosa+cos2asina ?/-i}^\  
 ,u]XXn  
  =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ,`sd%M  
<Boj=y=  
  =3sina-4sin³a <2U~Mh *  
ufXb9+}Fw  
  cos3a H&Tq1G-_3  
=HQ|sY.1  
  =cos(2a+a) mfMs88S  
bfU @~@  
  =cos2acosa-sin2asina |vAD%vBH  
EXW@$M+wBD  
  =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa T:t@@PM  
<1:{1$  
  =4cos³a-3cosa <gZS.' )  
RA=9jC6  
  sin3a=3sina-4sin³a hxT%pVmk  
@S*ok  
  =4sina(3/4-sin²a) r0cCw:k*  
q6Z~s#$Pr  
  =4sina[(√3/2)²-sin²a] >r[}*'L  
1Bl 9 ^e\  
  =4sina(sin²60°-sin²a) vMD/+v  
3r^n  
  =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) @[PDGV5  
*w9A.bF  
  =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]  `XYFiNV  
oE$L#?CQ  
  =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) @$<KQcfJ;  
{*`h&d/s  
  cos3a=4cos³a-3cosa lKZ}su{W  
C'-T!IL  
  =4cosa(cos²a-3/4) uSw`,Mr  
vC.;S-X-M\  
  =4cosa[cos²a-(√3/2)²] ZI<:-/;m!:  
1_Lw %$A  
  =4cosa(cos²a-cos²30°) =Ncd;Q  
QCT `h |  
  =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) bHt: `o7  
t^Xj0E  
  =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} DPJa,,G&  
.]PQXePP  
  =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) V"J[g* 7u  
jE]P WW!  
  =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] }fgD %M@  
dn>4 /#'d  
  =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] ` zU? Xz  
=N= Ef2  
  =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) Ee*l,Pn  
:[ZIwx0y  
  上述两式相比可得 ;b tIp/  
^(k m<2iw=  
  tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 3 :A   
&QqX8o"  
半角公式 3\R'$oi6G  
|;9 qqwzBB  
  tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); q=#Bg  
l"'&"Rnv  
  cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. >;j UnK"9s  
+'9D$SIC6%  
和差化积 +|>3!9x  
1? A{9HQ  
  sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 6uQMX3ik  
GX duE  
  sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ^;Mjf   
K5Ne*^q  
  cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ZW0< cT B  
BVCf='kWK  
  cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] I#dc9XxL  
mkcSL}'e  
  tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) nu:>D)( .u  
<)g . qD  
  tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) W F&K?k  
n4V5-zmZP  
积化和差 {qU6kYl@x  
VmPp&cw0  
  sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] m.d \J'  
 [QVCU  
  cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] !UT$,:?HP  
Y_|=?-?@'H  
  sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] UkcJ=W9V_(  
Hc41omAe;  
  cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] G?e?1;  
-"U=tteo;  
诱导公式 PG:j[l  
0,_=UC&d  
  sin(-α) = -sinα kAua2LZu  
T70t-Xi:U  
  cos(-α) = cosα (l 5,6^-  
q b 9) x  
  sin(π/2-α) = cosα q+F!aM %n  
OQ9^A2p' `  
  cos(π/2-α) = sinα *7JFma+g>  
)_RZyot  
  sin(π/2+α) = cosα Lo>5+\X5-  
8dsms_)  
  cos(π/2+α) = -sinα 0 :&   
B7eA3f`  
  sin(π-α) = sinα E9b__mVGx  
MfXfI  
  cos(π-α) = -cosα m't@a3s  
oy k !$  
  sin(π+α) = -sinα cTgj4e6U  
)P1DbX\/ W  
  cos(π+α) = -cosα mbxjy[E[  
2m8;z1  
  tanA= sinA/cosA "Y\K{^'(1  
%aqlI&<q  
  tan(π/2+α)=-cotα weU*K~Q  
,#ERs4!  
  tan(π/2-α)=cotα @"@ aL#  
|[bh\84  
  tan(π-α)=-tanα &%Y}%)(yza  
[ON@fF;&4  
  tan(π+α)=tanα H,0=(uh  
rTF^6Fbw@  
万能公式 p ,'*?  
#"bK%[F=  
   6MkDAcr  
,-gf"v=g  
其它公式 LR"e$]tD  
Ot7*})O  
  (sinα)^2+(cosα)^2=1 MYf=I7q#  
CX.\y9\"I!  
  1+(tanα)^2=(secα)^2 :.b-C$!  
>KXN Pl.Y  
  1+(cotα)^2=(cscα)^2 f@d. 4f z  
u Yq[v2C  
  证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ,Zd  p7A  
|8 +0 /|  
  对于任意非直角三角形,总有 P,YqWPt  
ciW2c| N  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ub?)| e@  
BXjUd:T P  
  证: 4n7wd.j(  
&JDLg  
  A+B=π-C T1 Ih\  
 @C;WzCw  
  tan(A+B)=tan(π-C) 0OOs&q  
&qI}}L?a  
  (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) TwZ68  
vl #U~J]{a  
  整理可得 ZQI7$S$  
1<0p4=R  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC .%.h4~c`0  
bgvt <?w  
  得证 90m2U6X  
pvmd_'  
  同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 V,Nr:Oh   
_h%80D  
其他非重点三角函数 U(>N2q}  
n&M^8 Up:(  
  csc(a) = 1/sin(a) iBND1d  
6.rr3:  
  sec(a) = 1/cos(a) %9OL7oaw  
dbE v+  
   ?pn,+0^q T  
 ;/C8n  
双曲函数 0+;lyW  
M[!oNlI%t  
  sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 s(fT@<gR  
&}"IWw\?  
  cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 Ao~mJ A  
l(Q$g9N-  
  tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) % yL<C74  
mqW3q^@  
  公式一: mDsLs/B2  
xLm-c \2  
  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: j~`>n{Y  
`|4 &Dz  
  sin(2kπ+α)= sinα % ?G,-G  
[jA#$/  
  cos(2kπ+α)= cosα y.&h[yB?  
0[ ^w03_  
  tan(kπ+α)= tanα /![ t7%=  
/%+ gl-Z  
  cot(kπ+α)= cotα ^-[svOL@<w  
$N #6q  
  公式二: 78o]ll>b  
4}MJ b4a  
  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: jhxH L_&  
_twE-+_^  
  sin(π+α)= -sinα zUYbQ7zFh  
UiNh NZ  
  cos(π+α)= -cosα ~-_+3kPAR  
?M-k~}`z  
  tan(π+α)= tanα ?bWFyE 7  
yU_xy_#m  
  cot(π+α)= cotα z=Bs-P  
7[v` B6(  
  公式三: z<w'`E`  
bm=l`]o  
  任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: zm~D`E7S:  
O%}hy"Q  
  sin(-α)= -sinα M3)EZPO*  
+<PNrUf   
  cos(-α)= cosα Lm%>2H  
5dm3. ^  
  tan(-α)= -tanα ut_Bcil4{6  
O~(P2=x7.  
  cot(-α)= -cotα D~T)Np1`  
)8k4vR]  
  公式四: sr)mM  
YR<)KQ1  
  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: ^ (/ C  
5N)A<D0@r  
  sin(π-α)= sinα iTJ1-m"  
m P8b:x  
  cos(π-α)= -cosα V=lv \=  
4di8@+8  
  tan(π-α)= -tanα 5Ngq;] S=  
H_fg|:l  
  cot(π-α)= -cotα R:3YHQ|  
9>6-Es7  
  公式五: aU O9   
 (3qy7Hz  
  利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: zX&OdUB`  
Dw?E?\V P  
  sin(2π-α)= -sinα "!qA(jk#  
`me1*9!vy  
  cos(2π-α)= cosα 'i 3&X99$  
E5Nz @5enR  
  tan(2π-α)= -tanα RaQJ\4+>h  
#XK,qH_^`  
  cot(2π-α)= -cotα Y01JXG8  
D;S>o.l5  
  公式六: F^7>xK  
 v`Z]7 N  
  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: vnA@j( ^  
wxDDpa$W(  
  sin(π/2+α)= cosα :"@]"TZCi  
8Fj|}nn  
  cos(π/2+α)= -sinα A>|gA/ RG  
l9 eG xQ-  
  tan(π/2+α)= -cotα : _" g~E  
TV90W{)U  
  cot(π/2+α)= -tanα YSJ8eAd*  
SB!Y8lI#  
  sin(π/2-α)= cosα -~\HDr  
E"DmWWP  
  cos(π/2-α)= sinα \85BA*}"  
eP@n]J~83  
  tan(π/2-α)= cotα WRar5v1  
wan+zu  
  cot(π/2-α)= tanα 5'tpW@)  
Vmc7Qqb  
  sin(3π/2+α)= -cosα }g`3\zz  
_{Y*$PQd  
  cos(3π/2+α)= sinα "@NSdDSsY  
15QWl:!0i  
  tan(3π/2+α)= -cotα G Hq SN^t  
NIhFMi.-  
  cot(3π/2+α)= -tanα ScH=62w  
"IR>_Pra_  
  sin(3π/2-α)= -cosα gN ZGiK7  
[NP#4L<x`P  
  cos(3π/2-α)= -sinα Lo 8%LlS  
lbwJGk]*  
  tan(3π/2-α)= cotα (1r'q~0h-  
\~,6oIp~{  
  cot(3π/2-α)= tanα v<2@ v|:y  
tncws8F-  
  (以上k∈Z) wJcA6She  
!*-YI}>_K  
  这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 X-3'0-Rd  
Es~8l"<G8  
  A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = Jvj_g6n)-  
 Te&|i]>  
  √{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } K}`+*c#  
2O9N*>"e  
  √表示根号,包括{……}中的内容



迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
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